Deskriptive Statistik (2)

_Statistik

Prof. Dr. Armin Eichinger

TH Deggendorf

12.11.2024

Blick zurück: Histogramme

Histogramm revisited

Übergang von diskret zu kontinuierlich (Beispiel: IQ-Punkte)

Normalverteilung – NV

Grundlegendes zur NV

Verbreitung der Normalverteilung (NV):

Viele natürliche Merkmale
Viele statistische Kennwerte
Voraussetzung für viele statistische Verfahren

Eigenschaften

Wahrscheinlichkeitsdichte: \({\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}\)
Notation “X ist normalverteilt mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma²\)”: \(X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\)
Einfachheit: festgelegt durch Mittelwert und Standardabweichung
Symmetrie: Glockenkurve; \(\textit{MOD} = \textit{MD} = \textit{MW}\)
Asymptote des Funktionsgraphs ist die x-Achse
Normierung der Fläche auf 1

Form

\(\sigma\) (bzw. \(SD\)) bestimmt die Breite, \(\mu\) (bzw. \(\bar{x}\)) die Lage der NV:

Wichtige Flächenanteile

Diese Anteile sollten Sie näherungsweise kennen:
- 68.26 % der Werte liegen im Bereich von +/- 1 \(\sigma\) um \(\mu\)
- 95.45 % der Werte liegen im Bereich von +/- 2 \(\sigma\) um \(\mu\)
- 99.73 % der Werte liegen im Bereich von +/- 3 \(\sigma\) um \(\mu\)
Den Rest liefern tabellierte Werte einer besonderen NV: die Standardnormalverteilung – SNV

Werte der Standardnormalverteilung (SNV)
	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817

Grafischer Umgang mit der Verteilung

Standardnormalverteilung – SNV

SNV: Grundlegendes

Spezielle Form der NV mit \(\mu=0\) und \(\sigma^{2} = 1\)
SNV: \(X\sim {\mathcal {N}}(0 ,1)\)
Wahrscheinlichkeitsdichte: \({\displaystyle f (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\quad}\)
Transformation auf Ebene der Zufallsvariablen: \(Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\)
Transformation auf Stichprobenebene: \(z_i={\frac {x_i-\bar{x} }s}\)
“Subtraktion des Mittelwerts und Division durch die Standardabweichung”
Achtung: Transformation in SNV nur, wenn vorher NV!

SNV: Tabelle

Achtung: Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte

	-.00	-.01	-.02	-.03	-.04	-.05	-.06	-.07	-.08	-.09
0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641
-0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
-0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
-0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
-0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
-0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
-0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
-0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
-0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
-0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
-1	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
-1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
-1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
-1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
-1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
-1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
-1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
-1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
-1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
-1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
-2	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
-2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
-2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
-2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
-2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
-2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
-2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
-2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
-2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
-2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
-3	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010

	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

SNV: Umgang mit der Tabelle

z-Wert: Kombination aus Zeile und Spalte (für die 2. Nachkommastelle)
Beispiel z = -1.65: Zeile -1.6 kombiniert mit Spalte -.05
Wert in der Zelle als Prozent der Gesamtfläche links vom z-Wert
Beispiele:
- z = -1.65 → Zelle: 0.0495 → Fläche: 4.95 %
- z = 0 → Zelle: 0.5 → Fläche: 50 %
- z = 1.96 → Zelle: 0.975 → Fläche: 97.5 %
- z = 2.9 → Zelle: 0.9981 → Fläche: 99.81 %

	-.00	-.01	-.02	-.03	-.04	-.05	-.06	-.07	-.08	-.09
0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641
-0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
-0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
-0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
-0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
-0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
-0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
-0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
-0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
-0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
-1	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
-1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
-1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
-1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
-1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
-1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
-1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
-1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
-1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
-1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
-2	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
-2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
-2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
-2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
-2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
-2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
-2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
-2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
-2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
-2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
-3	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010

	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

Standardfehler

SE: Grundlagen

Standardfehler = Standardabweichung einer Verteilung eines statistischen Kennwerts (aka Kennwerteverteilung)
Meist angewendet auf das arithmetische Mittel
Geläufige Abkürzungen: \(\sigma_{\bar{x}}\), \(s_{\bar{x}}\), SE (standard error), SEM (… of the mean)
Formel: \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) bzw. \(s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}\)

SE: Anwendung

Maß der Güte einer Schätzung
Beispiel: Vom Mittelwert einer Stichprobe auf den Mittelwert in der Population schließen
Je kleiner der SE, desto präziser die Schätzung
Je kleiner die Stichprobe n, auf der SE beruht, desto unpräziser die Schätzung
Ermitteln von Konfidenzintervallen um Kennwerte (meist: arithmetisches Mittel)

SE: grafisch – NV(100, 15)

Population: Eine Verteilung von 1.000 Werten; unimodal, aber nicht perfekt normalverteilt
Mittelwert \(\approx\) 100
Standardabweichung \(\approx\) 15
Exakt: \(\mu\) = 99.02; \(\sigma\) = 14.67 (die griechischen Symbole sträuben sich, in der Abbildung angezeigt zu werden)
Mit steigendem \(n\) wird \(\hat\sigma_{\bar{x}}\) = \(\textit{SE}\) kleiner
\(\hat\mu = \bar{x} = \textit{MW}\) bleibt unbeeinflusst von \(n\)
Stichprobengröße \(n\) ist der stärkste Einfluss auf den Standardfehler \(\hat\sigma_{\bar{x}}\)
Kennwerteverteilung geht mit steigenden \(n\) in Normalverteilung über
Prüfung der Formel: \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

SE: grafisch – \(\chi²(2)\)

Population: Eine \(\chi²\)-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden von 1.000 Werten; eindeutig nicht normalverteilt
Exakt: \(\mu\) = 1.94; \(\sigma\) = 1.93
Mit steigendem \(n\) wird \(\hat\sigma_{\bar{x}}\) = \(\textit{SE}\) kleiner
\(\hat\mu = \bar{x} = \textit{MW}\) bleibt unbeeinflusst von \(n\)
Kennwerteverteilung geht mit steigendem \(n\) in Normalverteilung über
Prüfung der Formel: \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

SE: Zentraler Grenzwertsatz (CLT)

Die Verteilung der Mittelwerte von Stichproben ist angenähert normal, wenn die Stichprobe groß genug ist.
Handreichung: \(n > 30\)
Das gilt unabhängig von der Ausgangsverteilung, aus der die Stichproben gezogen werden.
Zur Erinnerung: Die Standardabweichung dieser Kennwerteverteilung ist der Standardfehler.
Achtung Missverständnis: Bei \(n > 30\) geht man davon aus, dass der Mittelwert einer Stichprobe aus einer NV stammt, nicht, dass die 30 Datenpunkte nv sind!

Konfidenzintervalle

KI: Grundlagen

Bereich um einen Punktschätzer; meist \(\bar{x}\)
Synonyme: Vertrauensintervall, -bereich
Ziel: Aussagen der Form “Der wahre Wert des geschätzten Parameters fällt wahrscheinlich in den Bereich von \(\textit{KI}_{unten}\) bis \(\textit{KI}_{oben}\)“
Interpretation eines 95%-KIs: Bei durchschnittlich 95 von 100 gleichgroßen Stichproben enthält das Konfidenzintervall den wahren Wert (= Populationsparameter; meist ist das \(\mu\))
Breite des KIs abhängig von:
- Stichprobengröße n: je größer n, desto kleiner das KI
- Konfidenzniveau: 95%-KI > 90%-KI > 80%-KI
- Standardfehler: Je größer \(\hat\sigma_{\bar{x}}\), desto größer das KI
- Standardabweichung: Je größer \(\hat\sigma\), desto größer \(\hat\sigma_{\bar{x}}\), desto größer das KI

95%-KI: Populations- und Kennwerteverteilung (n = 100)

KI: Argumentation (1)

Zentraler Grenzwertsatz: Kennwerteverteilung von \(\bar{x}\) ist normal, wenn \(n > 30\)
Die Standardabweichung dieser NV ist der Standardfehler \(\sigma_{\bar{x}}\)
Für alle NV gilt: z-Wert für 95%-KI ist 1.96; im Intervall \(\mu ± 1.96 \cdot\sigma\) liegen 95% aller Werte (Achtung Verwechslungsgefahr: z=1.96 schneidet 97.5% der Fläche der Verteilung ab; wird aber für das 95%-KI benötigt)
Für die Kennwerte-NV gilt also: im Intervall \(\mu ± 1.96\cdot\sigma_{\bar{x}}\) liegen 95% aller Kennwerte \(\bar{x}\)

Forest-Plot-Darstellung

KI: Argumentation (2)

Zwei entscheidende Fragen:

Wie groß ist die Chance, dass ein zufällig ausgewählter Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\) innerhalb des Bereichs \(\mu ± 1.96\cdot\sigma_{\bar{x}}\) liegt?
→ Antwort: 95%, da in diesem Bereich 95% aller Kennwerte liegen.
Wenn wir um diesen zufällig ausgewählten Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\) ein Intervall \(\bar{x} ± 1.96\cdot\sigma_{\bar{x}}\) legen; wie groß ist die Chance, dass der Populationsparameter \(\mu\) darin liegt?
→ Antwort: Ebenfalls 95%. Genau dann, wenn \(\bar{x}\) innerhalb des Intervalls selber Breite um \(\mu\) liegt, liegt \(\mu\) innerhalb des Intervalls um \(\bar{x}\). Das ist nicht offensichtlich – bitte drüber nachdenken!

Damit haben wir mit diesem Intervall \(\bar{x} ± 1.96\cdot\sigma_{\bar{x}}\) unser Ziel erreicht: Der wahre Populationsparameter \(\mu\) liegt in 95% der Fälle (also der Stichproben) innerhalb des KIs!

KI: Argumentation (3)

Konkrete Werte für unseren Forest-Plot.

Genau dann, wenn \(\bar{x}\) außerhalb des Intervalls \((± 1.96\cdot SE)\) um \(\mu\) liegt, liegt \(\mu\) außerhalb des Intervalls um \(\bar{x}\).

Anzahl Stichproben \(= 100\)

\(n=100\)

\(\sigma=15\) (daher: \(\sigma_{\bar{x}}= 15/\sqrt{100}= 1.5\))

Breite des Intervalls: \(± 1.96\cdot SE = ± 2.92 = 5.84\)

KI: Beispiel

Bei einer Untersuchung beträgt der systolische Blutdruck einer Stichprobe von \(n=48\) Patient:innen im Durchschnitt \(\bar{x}\) = 127.6 mit einer Standardabweichung von \(s\) = 12.3.

Aufgabe 1: Berechnung eines 95%-Konfidenzintervalls um den Mittelwert

\[ \begin{eqnarray} 95\%{-}KI &=& \bar{x} ± z_{97.5\%} \cdot SE \\\ &=& \bar{x} ± z_{97.5\%} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\ \\\ &=& 127.6 ± 1.96 \cdot \frac{12.3}{\sqrt{48}} \\\ &=& (124.12; 131.08) \end{eqnarray} \]

Aufgabe 2: Berechnung eines 99%-Konfidenzintervalls um den Mittelwert

\[ \begin{eqnarray} 99\%{-}KI &=& \bar{x} ± z_{99.5\%} \cdot SE \\\ &=& \bar{x} ± z_{99.5\%} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\ \\\ &=& 127.6 ± 2.57 \cdot \frac{12.3}{\sqrt{48}} \\\ &=& (123.04; 132.16) \end{eqnarray} \]

Konfidenzintervalle für \(n<30\)

Mittelwerte für Stichproben sind eigentlich nicht normal-, sondern \(t\)-verteilt!
Für \(n>30\) sind die beiden Verteilungen quasi identisch (es gilt ja das CLT).
Für kleine Stichproben \(n<30\) müssen wir aber die \(t\)-Verteilung und \(t\)-Werte anstatt \(z\) verwenden; ansonsten: Rechenweg ist absolut identisch!
Zusätzliche Voraussetzung: Merkmal X ist normalverteilt.
\(\textit{df}\): Freiheitsgrade; engl. degrees of freedom
\(\textit{df} = n - 1\)
95%-KI(t): \(\bar{x} ± t_{97.5\%}(\textit{df}) \cdot \textit{SE}\)
Beispiel:
- Stichprobengröße \(n=15 \rightarrow \textit{df} = 15 - 1 = 14\)
- gesucht: t-Wert bei 97.5% (“… der größer ist als 97.5% aller Werte”)
- \(t_{0.975}(14) = 2.1448\)

t-Tabelle
df	0.95	0.975
1	6.3138	12.7062
2	2.9200	4.3027
3	2.3534	3.1824
4	2.1318	2.7764
5	2.0150	2.5706
6	1.9432	2.4469
7	1.8946	2.3646
8	1.8595	2.3060
9	1.8331	2.2622
10	1.8125	2.2281
11	1.7959	2.2010
12	1.7823	2.1788
13	1.7709	2.1604
14	1.7613	2.1448
15	1.7531	2.1314
16	1.7459	2.1199
17	1.7396	2.1098
18	1.7341	2.1009
19	1.7291	2.0930
20	1.7247	2.0860
21	1.7207	2.0796
22	1.7171	2.0739
23	1.7139	2.0687
24	1.7109	2.0639
25	1.7081	2.0595
26	1.7056	2.0555
27	1.7033	2.0518
28	1.7011	2.0484
29	1.6991	2.0452
30	1.6973	2.0423
31	1.6955	2.0395
32	1.6939	2.0369
33	1.6924	2.0345
34	1.6909	2.0322
35	1.6896	2.0301

Kritische Werte der \(t\)-Verteilung

df	0.01	0.025	0.05	0.10	0.25	0.75	0.90	0.95	0.975	0.99
1	-31.8205	-12.7062	-6.3138	-3.0777	-1.0000	1.0000	3.0777	6.3138	12.7062	31.8205
2	-6.9646	-4.3027	-2.9200	-1.8856	-0.8165	0.8165	1.8856	2.9200	4.3027	6.9646
3	-4.5407	-3.1824	-2.3534	-1.6377	-0.7649	0.7649	1.6377	2.3534	3.1824	4.5407
4	-3.7469	-2.7764	-2.1318	-1.5332	-0.7407	0.7407	1.5332	2.1318	2.7764	3.7469
5	-3.3649	-2.5706	-2.0150	-1.4759	-0.7267	0.7267	1.4759	2.0150	2.5706	3.3649
6	-3.1427	-2.4469	-1.9432	-1.4398	-0.7176	0.7176	1.4398	1.9432	2.4469	3.1427
7	-2.9980	-2.3646	-1.8946	-1.4149	-0.7111	0.7111	1.4149	1.8946	2.3646	2.9980
8	-2.8965	-2.3060	-1.8595	-1.3968	-0.7064	0.7064	1.3968	1.8595	2.3060	2.8965
9	-2.8214	-2.2622	-1.8331	-1.3830	-0.7027	0.7027	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214
10	-2.7638	-2.2281	-1.8125	-1.3722	-0.6998	0.6998	1.3722	1.8125	2.2281	2.7638
11	-2.7181	-2.2010	-1.7959	-1.3634	-0.6974	0.6974	1.3634	1.7959	2.2010	2.7181
12	-2.6810	-2.1788	-1.7823	-1.3562	-0.6955	0.6955	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810
13	-2.6503	-2.1604	-1.7709	-1.3502	-0.6938	0.6938	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503
14	-2.6245	-2.1448	-1.7613	-1.3450	-0.6924	0.6924	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245
15	-2.6025	-2.1314	-1.7531	-1.3406	-0.6912	0.6912	1.3406	1.7531	2.1314	2.6025
16	-2.5835	-2.1199	-1.7459	-1.3368	-0.6901	0.6901	1.3368	1.7459	2.1199	2.5835
17	-2.5669	-2.1098	-1.7396	-1.3334	-0.6892	0.6892	1.3334	1.7396	2.1098	2.5669
18	-2.5524	-2.1009	-1.7341	-1.3304	-0.6884	0.6884	1.3304	1.7341	2.1009	2.5524
19	-2.5395	-2.0930	-1.7291	-1.3277	-0.6876	0.6876	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395
20	-2.5280	-2.0860	-1.7247	-1.3253	-0.6870	0.6870	1.3253	1.7247	2.0860	2.5280
21	-2.5176	-2.0796	-1.7207	-1.3232	-0.6864	0.6864	1.3232	1.7207	2.0796	2.5176
22	-2.5083	-2.0739	-1.7171	-1.3212	-0.6858	0.6858	1.3212	1.7171	2.0739	2.5083
23	-2.4999	-2.0687	-1.7139	-1.3195	-0.6853	0.6853	1.3195	1.7139	2.0687	2.4999
24	-2.4922	-2.0639	-1.7109	-1.3178	-0.6848	0.6848	1.3178	1.7109	2.0639	2.4922
25	-2.4851	-2.0595	-1.7081	-1.3163	-0.6844	0.6844	1.3163	1.7081	2.0595	2.4851
26	-2.4786	-2.0555	-1.7056	-1.3150	-0.6840	0.6840	1.3150	1.7056	2.0555	2.4786
27	-2.4727	-2.0518	-1.7033	-1.3137	-0.6837	0.6837	1.3137	1.7033	2.0518	2.4727
28	-2.4671	-2.0484	-1.7011	-1.3125	-0.6834	0.6834	1.3125	1.7011	2.0484	2.4671
29	-2.4620	-2.0452	-1.6991	-1.3114	-0.6830	0.6830	1.3114	1.6991	2.0452	2.4620
30	-2.4573	-2.0423	-1.6973	-1.3104	-0.6828	0.6828	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573
31	-2.4528	-2.0395	-1.6955	-1.3095	-0.6825	0.6825	1.3095	1.6955	2.0395	2.4528
32	-2.4487	-2.0369	-1.6939	-1.3086	-0.6822	0.6822	1.3086	1.6939	2.0369	2.4487
33	-2.4448	-2.0345	-1.6924	-1.3077	-0.6820	0.6820	1.3077	1.6924	2.0345	2.4448
34	-2.4411	-2.0322	-1.6909	-1.3070	-0.6818	0.6818	1.3070	1.6909	2.0322	2.4411
35	-2.4377	-2.0301	-1.6896	-1.3062	-0.6816	0.6816	1.3062	1.6896	2.0301	2.4377
36	-2.4345	-2.0281	-1.6883	-1.3055	-0.6814	0.6814	1.3055	1.6883	2.0281	2.4345
37	-2.4314	-2.0262	-1.6871	-1.3049	-0.6812	0.6812	1.3049	1.6871	2.0262	2.4314
38	-2.4286	-2.0244	-1.6860	-1.3042	-0.6810	0.6810	1.3042	1.6860	2.0244	2.4286
39	-2.4258	-2.0227	-1.6849	-1.3036	-0.6808	0.6808	1.3036	1.6849	2.0227	2.4258
40	-2.4233	-2.0211	-1.6839	-1.3031	-0.6807	0.6807	1.3031	1.6839	2.0211	2.4233
41	-2.4208	-2.0195	-1.6829	-1.3025	-0.6805	0.6805	1.3025	1.6829	2.0195	2.4208
42	-2.4185	-2.0181	-1.6820	-1.3020	-0.6804	0.6804	1.3020	1.6820	2.0181	2.4185
43	-2.4163	-2.0167	-1.6811	-1.3016	-0.6802	0.6802	1.3016	1.6811	2.0167	2.4163
44	-2.4141	-2.0154	-1.6802	-1.3011	-0.6801	0.6801	1.3011	1.6802	2.0154	2.4141
45	-2.4121	-2.0141	-1.6794	-1.3006	-0.6800	0.6800	1.3006	1.6794	2.0141	2.4121
46	-2.4102	-2.0129	-1.6787	-1.3002	-0.6799	0.6799	1.3002	1.6787	2.0129	2.4102
47	-2.4083	-2.0117	-1.6779	-1.2998	-0.6797	0.6797	1.2998	1.6779	2.0117	2.4083
48	-2.4066	-2.0106	-1.6772	-1.2994	-0.6796	0.6796	1.2994	1.6772	2.0106	2.4066
49	-2.4049	-2.0096	-1.6766	-1.2991	-0.6795	0.6795	1.2991	1.6766	2.0096	2.4049
50	-2.4033	-2.0086	-1.6759	-1.2987	-0.6794	0.6794	1.2987	1.6759	2.0086	2.4033
51	-2.4017	-2.0076	-1.6753	-1.2984	-0.6793	0.6793	1.2984	1.6753	2.0076	2.4017
52	-2.4002	-2.0066	-1.6747	-1.2980	-0.6792	0.6792	1.2980	1.6747	2.0066	2.4002
53	-2.3988	-2.0057	-1.6741	-1.2977	-0.6791	0.6791	1.2977	1.6741	2.0057	2.3988
54	-2.3974	-2.0049	-1.6736	-1.2974	-0.6791	0.6791	1.2974	1.6736	2.0049	2.3974
55	-2.3961	-2.0040	-1.6730	-1.2971	-0.6790	0.6790	1.2971	1.6730	2.0040	2.3961
56	-2.3948	-2.0032	-1.6725	-1.2969	-0.6789	0.6789	1.2969	1.6725	2.0032	2.3948
57	-2.3936	-2.0025	-1.6720	-1.2966	-0.6788	0.6788	1.2966	1.6720	2.0025	2.3936
58	-2.3924	-2.0017	-1.6716	-1.2963	-0.6787	0.6787	1.2963	1.6716	2.0017	2.3924
59	-2.3912	-2.0010	-1.6711	-1.2961	-0.6787	0.6787	1.2961	1.6711	2.0010	2.3912
60	-2.3901	-2.0003	-1.6706	-1.2958	-0.6786	0.6786	1.2958	1.6706	2.0003	2.3901
61	-2.3890	-1.9996	-1.6702	-1.2956	-0.6785	0.6785	1.2956	1.6702	1.9996	2.3890
62	-2.3880	-1.9990	-1.6698	-1.2954	-0.6785	0.6785	1.2954	1.6698	1.9990	2.3880
63	-2.3870	-1.9983	-1.6694	-1.2951	-0.6784	0.6784	1.2951	1.6694	1.9983	2.3870
64	-2.3860	-1.9977	-1.6690	-1.2949	-0.6783	0.6783	1.2949	1.6690	1.9977	2.3860
65	-2.3851	-1.9971	-1.6686	-1.2947	-0.6783	0.6783	1.2947	1.6686	1.9971	2.3851
66	-2.3842	-1.9966	-1.6683	-1.2945	-0.6782	0.6782	1.2945	1.6683	1.9966	2.3842
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71	-2.3800	-1.9939	-1.6666	-1.2936	-0.6780	0.6780	1.2936	1.6666	1.9939	2.3800
72	-2.3793	-1.9935	-1.6663	-1.2934	-0.6779	0.6779	1.2934	1.6663	1.9935	2.3793
73	-2.3785	-1.9930	-1.6660	-1.2933	-0.6779	0.6779	1.2933	1.6660	1.9930	2.3785
74	-2.3778	-1.9925	-1.6657	-1.2931	-0.6778	0.6778	1.2931	1.6657	1.9925	2.3778
75	-2.3771	-1.9921	-1.6654	-1.2929	-0.6778	0.6778	1.2929	1.6654	1.9921	2.3771
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96	-2.3658	-1.9850	-1.6609	-1.2904	-0.6771	0.6771	1.2904	1.6609	1.9850	2.3658
97	-2.3654	-1.9847	-1.6607	-1.2903	-0.6770	0.6770	1.2903	1.6607	1.9847	2.3654
98	-2.3650	-1.9845	-1.6606	-1.2902	-0.6770	0.6770	1.2902	1.6606	1.9845	2.3650
99	-2.3646	-1.9842	-1.6604	-1.2902	-0.6770	0.6770	1.2902	1.6604	1.9842	2.3646
100	-2.3642	-1.9840	-1.6602	-1.2901	-0.6770	0.6770	1.2901	1.6602	1.9840	2.3642

Vergleich t-Verteilung(en) — SNV