Deskriptive Statistik: z-Transformation

Statistik: Übungen

Author

Prof. Dr. Armin Eichinger

Published

26.10.2023

Hinweis

Bearbeiten Sie wo möglich die Aufgaben zuerst händisch und dann mit den bekannten/angegebenen R-Funktionen. Damit können Sie R als Werkzeug zu Kontrolle verwenden.

Wir sehen uns für diese Übungen vor allem an, welche Funktionen zum Umgang mit z-Werten in R zur Verfügung stehen.

1 Aufgabe scale()

Gegeben sind die Werte 13; 28; 26; 19; 15; 16

  1. Ermitteln Sie Median, Mittelwert, Standardabweichung.

  2. Überführen Sie die Werte in z-Werte. Sie könnten die Ergebnisse aus der vorigen Teilaufgabe verwenden und R als Taschenrechner zur Transformation einsetzen. Einfacher geht es mit der Funktion scale(). Sie erhält als Parameter einen Vektor (denken Sie an die Funktion c()) und gibt einen Vektor mit den z-Werten zurück. Parameter zwei und drei sind optional und geben Mittelwert und Standardabweichung an.

    Das Ergebnis sollte so aussehen: -1.0558294, 1.3807, 1.0558294, -0.0812176, -0.7309588, -0.5685235

  3. Verwendetet scale() für \(\sigma\) die Formel mit n oder mit n – 1?

  4. Ermitteln Sie Median, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung der transformierten Werte

2 Aufgabe pnorm()

Wie viele Prozent der Fälle einer Normalverteilung liegen in dem Bereich Mittelwert +/- 1,5 Standardabweichungen?

Die Funktion pnorm() erwartet als verbindlichen Parameter einen Wert, für den wir die Position in einer Normalverteilung bestimmen möchten. Optional können als benannte Parameter (u.a.) der Mittelwert (mean=...) und die Standardabweichung (sd=...) einer Normalverteilung angegeben werden. Lässt man die beiden weg, werden die Werte der Standardnormalverteilung angenommen.

Entscheidend bei dieser Aufgabe ist es, die richtigen Flächenanteile zu ermitteln und voneinander abzuziehen. Wie immer bei Aufgaben zu Normalverteilungen sollten Sie sich unbedingt eine Skizze machen.

Das Ergebnis lautet: 0.8663856 – also rund 86.64 Prozent

3 Aufgabe qnorm()

Von einem Intelligenztest weiß man, dass er normalverteilt ist: µ = 100 (Punkte), σ = 15. In einem Auswahlverfahren werden nur Bewerber akzeptiert, die zu den intelligentesten 10 % gehören. Bei welcher Punktezahl liegt die Schranke des Tests?

Die Funktion qnorm() (“q” steht für Quantil) hat fast dieselbe Struktur wie pnorm(). Nur der erste Parameter ist hier eine Wahrscheinlichkeit, die als Wert zwischen 0 und 1 angegeben wird.

Wenn die weiteren Parameter mean= und sd= weggelassen werden, liefert qnorm() einen z-Wert. Hier wollen wir das nicht. Das Ergebnis ist 119.22.

4 Aufgabe rnorm()

Erzeugen Sie 100 Zufallszahlen aus einer Normalverteilung mit MW = 180 und SD = 8.

Sie können dazu die Funktion rnorm() verwenden (“r” steht hier für random). Recherchieren Sie die Anwendung.

Prüfen Sie in einer Histogramm-Darstellung, ob die Zahlen tatsächlich annähernd normalverteilt sind.

Wenn Sie vor dem Aufruf dem Zufallsgenerator als “Keim” – engl. seed – des Generators 123 festlegen (set.seed(123) # willkürlich von mir festgelegt), sollte das Ergebnis exakt wie folgt aussehen:

  [1] 175.5162 178.1586 192.4697 180.5641 181.0343 193.7205 183.6873 169.8795
  [9] 174.5052 176.4347 189.7927 182.8785 183.2062 180.8855 175.5533 194.2953
 [17] 183.9828 164.2671 185.6108 176.2177 171.4574 178.2562 171.7920 174.1689
 [25] 174.9997 166.5065 186.7023 181.2270 170.8949 190.0305 183.4117 177.6394
 [33] 187.1610 187.0251 186.5726 185.5091 184.4313 179.5047 177.5523 176.9562
 [41] 174.4423 178.3367 169.8768 197.3516 189.6637 171.0151 176.7769 176.2668
 [49] 186.2397 179.3330 182.0265 179.7716 179.6570 190.9488 178.1938 192.1318
 [57] 167.6100 184.6769 180.9908 181.7275 183.0371 175.9814 177.3343 171.8514
 [65] 171.4257 182.4282 183.5857 180.4240 187.3781 196.4007 176.0718 161.5266
 [73] 188.0459 174.3264 174.4959 188.2046 177.7218 170.2343 181.4504 178.8889
 [81] 180.0461 183.0822 177.0347 185.1550 178.2361 182.6543 188.7747 183.4815
 [89] 177.3925 189.1905 187.9480 184.3872 181.9099 174.9768 190.8852 175.1979
 [97] 197.4987 192.2609 178.1144 171.7886

Solche Keime für Zufallsgeneratoren führen zu reproduzierbaren Ergebnissen einer Auswertung, die ein Zufallselement (wie z. B. rnorm()) beinhalten. Ansonsten würden sich die Ergebnisse natürlich bei jedem Aufruf unterscheiden.

5 Aufgabe

Zwischen welchen Werten der Standardnormalverteilung liegen symmetrisch um den Mittelwert 80 Prozent der Werte?

6 Aufgabe

Ein Patient erhält bei einem Funktionstest (normalverteilt µ = 20, σ² = 25) den Testwert 12. Welches Ergebnis würde er theoretisch in einem anderen Test mit µ = 0, σ² = 100 erreichen?

7 Aufgabe

Angenommen, die Leistung bei einem Test zur Studienzulassung ist normalverteilt um den Mittelwert 600 mit der Varianz 2500.

  1. Wie viele Prozent der Prüflinge haben erwartungsgemäß ein Testergebnis von mehr als 700 Punkten?

  2. Wie viele Prozent der Prüflinge haben erwartungsgemäß ein Testergebnis von weniger als 500 Punkten?

  3. Wie viele Prozent der Prüflinge haben erwartungsgemäß ein Testergebnis zwischen 500 und 600 Punkten?

  4. Prüfling X möchte zu den besten 10 % der Absolventen des Tests gehören. Welches Testergebnis muss er dazu erzielen?

8 Aufgabe

Das Merkmal Körpergröße ist normalverteilt. Die durchschnittliche Körpergröße von Männern bis etwa 40 Jahre ist 180 cm (σ = 8 cm).

  1. Dirk Nowitzki ist 213 cm groß. Wie viele Prozent aller Männer dieser Altersgruppe sind größer als er?

  2. Wie viele Prozent der Männer dieser Altersgruppe sind zwischen 180 und 190 cm groß?

  3. In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen die Größen von 50 % aller Männer dieser Altersgruppe?

9 Aufgabe

Herr Schulz hat in Hessen studiert und eine Examensnote von 1.6; Frau Huber hat in Bayern studiert und eine Examensnote von 1.1. In Hessen wie in Bayern sind die Abschlussnoten normalverteilt. In Hessen mit einem Mittelwert µ von 2.5 und einer Standardabweichung σ von 0.5. In Bayern mit µ = 1.7 und σ = 0.3. Bezogen auf seine jeweilige Referenzgruppe: Wer hat den besseren Abschluss?

10 Aufgabe

Jodie Foster hat angeblich einen IQ von 132. IQs sind normalverteilt mit µ=100 und σ=15. Auch die Größe von amerikanischen Frauen ist normalverteilt: µ = 165 cm und σ = 10 cm. Wenn Jodie Foster so groß wäre, wie sie intelligent ist, wie groß wäre sie dann?

Anhang

10.1 SNV

Achtung: Die Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte

-.00 -.01 -.02 -.03 -.04 -.05 -.06 -.07 -.08 -.09
0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.46414
-0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.42465
-0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.38591
-0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.34827
-0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.31207
-0.5 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.27760
-0.6 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.24510
-0.7 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.21476
-0.8 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.18673
-0.9 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.16109
-1 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.13786
-1.1 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.11702
-1.2 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.09853
-1.3 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.08226
-1.4 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.06811
-1.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.05592
-1.6 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.04551
-1.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.03673
-1.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.02938
-1.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.02330
-2 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.01831
-2.1 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.01426
-2.2 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.01101
-2.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842
-2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.00639
-2.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.00480
-2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.00357
-2.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.00264
-2.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.00193
-2.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139
-3 0.00135 0.00131 0.00126 0.00122 0.00118 0.00114 0.00111 0.00107 0.00104 0.00100
-3.1 0.00097 0.00094 0.00090 0.00087 0.00084 0.00082 0.00079 0.00076 0.00074 0.00071
-3.2 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056 0.00054 0.00052 0.00050
-3.3 0.00048 0.00047 0.00045 0.00043 0.00042 0.00040 0.00039 0.00038 0.00036 0.00035
-3.4 0.00034 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028 0.00027 0.00026 0.00025 0.00024
-3.5 0.00023 0.00022 0.00022 0.00021 0.00020 0.00019 0.00019 0.00018 0.00017 0.00017
-3.6 0.00016 0.00015 0.00015 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00012 0.00012 0.00011
-3.7 0.00011 0.00010 0.00010 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008
-3.8 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005
-3.9 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003
-4 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002
-4.1 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00001 0.00001
-4.2 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001
-4.3 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001
-4.4 0.00001 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.5 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.6 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.7 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.8 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-4.9 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
-5 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586
0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535
0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409
0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173
0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793
0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240
0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490
0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524
0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327
0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891
1 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214
1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298
1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147
1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774
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4.4 0.99999 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.5 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
4.6 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
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4.9 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
5 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

10.2 t-Verteilung

df 0.01 0.025 0.05 0.10 0.25 0.5 0.75 0.90 0.95 0.975 0.99
1 -31.8205 -12.7062 -6.3138 -3.0777 -1.0000 0 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205
2 -6.9646 -4.3027 -2.9200 -1.8856 -0.8165 0 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646
3 -4.5407 -3.1824 -2.3534 -1.6377 -0.7649 0 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407
4 -3.7469 -2.7764 -2.1318 -1.5332 -0.7407 0 0.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469
5 -3.3649 -2.5706 -2.0150 -1.4759 -0.7267 0 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649
6 -3.1427 -2.4469 -1.9432 -1.4398 -0.7176 0 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427
7 -2.9980 -2.3646 -1.8946 -1.4149 -0.7111 0 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980
8 -2.8965 -2.3060 -1.8595 -1.3968 -0.7064 0 0.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965
9 -2.8214 -2.2622 -1.8331 -1.3830 -0.7027 0 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214
10 -2.7638 -2.2281 -1.8125 -1.3722 -0.6998 0 0.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638
11 -2.7181 -2.2010 -1.7959 -1.3634 -0.6974 0 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181
12 -2.6810 -2.1788 -1.7823 -1.3562 -0.6955 0 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810
13 -2.6503 -2.1604 -1.7709 -1.3502 -0.6938 0 0.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503
14 -2.6245 -2.1448 -1.7613 -1.3450 -0.6924 0 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245
15 -2.6025 -2.1314 -1.7531 -1.3406 -0.6912 0 0.6912 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025
16 -2.5835 -2.1199 -1.7459 -1.3368 -0.6901 0 0.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835
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18 -2.5524 -2.1009 -1.7341 -1.3304 -0.6884 0 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524
19 -2.5395 -2.0930 -1.7291 -1.3277 -0.6876 0 0.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395
20 -2.5280 -2.0860 -1.7247 -1.3253 -0.6870 0 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280
21 -2.5176 -2.0796 -1.7207 -1.3232 -0.6864 0 0.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176
22 -2.5083 -2.0739 -1.7171 -1.3212 -0.6858 0 0.6858 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083
23 -2.4999 -2.0687 -1.7139 -1.3195 -0.6853 0 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999
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25 -2.4851 -2.0595 -1.7081 -1.3163 -0.6844 0 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851
26 -2.4786 -2.0555 -1.7056 -1.3150 -0.6840 0 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786
27 -2.4727 -2.0518 -1.7033 -1.3137 -0.6837 0 0.6837 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727
28 -2.4671 -2.0484 -1.7011 -1.3125 -0.6834 0 0.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671
29 -2.4620 -2.0452 -1.6991 -1.3114 -0.6830 0 0.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620
30 -2.4573 -2.0423 -1.6973 -1.3104 -0.6828 0 0.6828 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573
31 -2.4528 -2.0395 -1.6955 -1.3095 -0.6825 0 0.6825 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528
32 -2.4487 -2.0369 -1.6939 -1.3086 -0.6822 0 0.6822 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487
33 -2.4448 -2.0345 -1.6924 -1.3077 -0.6820 0 0.6820 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448
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35 -2.4377 -2.0301 -1.6896 -1.3062 -0.6816 0 0.6816 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377
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37 -2.4314 -2.0262 -1.6871 -1.3049 -0.6812 0 0.6812 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314
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39 -2.4258 -2.0227 -1.6849 -1.3036 -0.6808 0 0.6808 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258
40 -2.4233 -2.0211 -1.6839 -1.3031 -0.6807 0 0.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233
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42 -2.4185 -2.0181 -1.6820 -1.3020 -0.6804 0 0.6804 1.3020 1.6820 2.0181 2.4185
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47 -2.4083 -2.0117 -1.6779 -1.2998 -0.6797 0 0.6797 1.2998 1.6779 2.0117 2.4083
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49 -2.4049 -2.0096 -1.6766 -1.2991 -0.6795 0 0.6795 1.2991 1.6766 2.0096 2.4049
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58 -2.3924 -2.0017 -1.6716 -1.2963 -0.6787 0 0.6787 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924
59 -2.3912 -2.0010 -1.6711 -1.2961 -0.6787 0 0.6787 1.2961 1.6711 2.0010 2.3912
60 -2.3901 -2.0003 -1.6706 -1.2958 -0.6786 0 0.6786 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901
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