Signifikanztest Korrelation

Statistik: Texte/Ausarbeitungen

Ein berühmtes literarisches Paar, bei dem Körpergröße und Gewicht nicht wie erwartet korrelieren: Don Quijote und Sancho Panza; hier nach einer Zeichnung von Pablo Picasso (1955)
Bildquelle: prodiart.com

Einführung

Große Menschen wiegen mehr als kleine Menschen. Stimmt das? Schon in etwa – aber es gibt auch kleine Menschen, die viel wiegen und große Menschen, die recht wenig auf die Waage bringen. Größe und Gewicht hängen irgendwie zusammen. Dieser Zusammenhang ist aber nicht perfekt.

Ein solch perfekter Zusammenhang besteht zwischen Größe gemessen in Zentimeter und Größe gemessen in Inch. Die Umrechnung ist zweifelsfrei und ganz ohne Unsicherheit oder Streuung: 1 Inch = 2.54 Zentimeter. Wenn wir bei einem Koordinatensystem auf der X-Achse die Größe von einigen Gegenständen oder Menschen in Zentimeter und auf der Y-Achse die Größe der gleichen Gegenstände oder Menschen in Inch antragen, dann bekommen wir eine gerade Linie, auf der alle Punkte liegen.

Wenn wir das gleiche mit Größe und Gewicht versuchen, dann wird das nicht mehr so geradlinig aussehen; ein Zusammenhang ist zwar da, aber der ist alles andere als perfekt (in diesem Beispiel ist er 0.514).

Um den Grad des Zusammenhangs zwischen zwei Größen oder Variablen auszudrücken, gibt es ein Maß: den Korrelationskoeffizienten, der mit r abgekürzt wird.

Der Wertebereich von r ist beschränkt: von -1 bis +1. Wenn r=0, dann besteht zwischen zwei Variablen kein Zusammenhang, bei r=1 ist der Zusammenhang perfekt – wie bei Inch und Zentimeter. Auch bei r=-1 ist der Zusammenhang perfekt – nur die Richtung ändert sich. Bei Inch und Zentimeter ist klar: Je mehr Zentimeter, desto mehr Inch.

Ein negativer perfekter Zusammenhang besteht beispielsweise zwischen der gefahrenen Distanz und der Entfernung zum Ziel. Je größer das eine, desto kleiner das andere. Folge: r ist negativ, aber sein Betrag ist umso größer, je stärker der Zusammenhang.

Für unser zweites Beispiel ist der Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht deutlich positiv: r=0.514. Das bedeutet: Je größer diese Menschen sind, desto schwerer sind sie auch. Der Zusammenhang ist nicht perfekt, aber doch deutlich.

Berechnung

Wie erhalten wir diesen Korrelationskoeffizienten r? Dazu müssen wir etwas ausholen und bei etwas beginnen, das wir schon kennen: der Varianz. Diese ist ja die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert – für eine Variable.

\[s² = \hat{\sigma}² = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})²}{n-1}\]

Jetzt werden wir etwas abstrakter und holen eine zweite Variable mit in die Überlegung. Wenn uns interessiert, wie diese nun zwei Variablen gemeinsam variieren, ersetzen wir im obigen Quadrat einmal die Abweichung der einen Variablen (d. h. X) von ihrem Mittelwert durch die Abweichung der neuen Variablen Y von deren Mittelwert. Das Ergebnis hat sehr viel Ähnlichkeit mit der Varianz-Formel. Es heißt auch ähnlich: Kovarianz.

\[Cov(x,y) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{n-1}\]

Die Kovarianz ist ein Maß dafür, wie stark zwei Variable gemeinsam variieren, oder kovariieren. Das Problem an der Kovarianz ist aber, dass sie eine komische Einheit hat, nämlich das Produkt der ursprünglichen Einheiten. Für unser Beispiel: cm x kg. Außerdem hängt die Größe der Kovarianz von der Größe der ursprünglichen Werte ab. Verschiedene Zusammenhänge lassen sich so nicht vergleichen. Die Kovarianz zwischen Werten gemessen in Inch und Kilogramm wäre eine komplett andere als die zwischen Zentimeter und Kilogramm.

Um diesen Problemen zu begegnen, wird die Kovarianz nachbehandelt. Sie wird standardisiert. Dazu wird sie jeweils durch die Standardabweichungen der beteiligten Variablen geteilt. Das bewirkt zum einen, dass die entstehende Größe ohne Einheit ist, und dass der Wertebereich von -1 bis +1 reicht. Sie werden es vermutlich erraten haben. Das Ergebnis dieser Nachbehandlung ist der Korrelationskoeffizient.

\[r = \frac{Cov(x,y)}{s_x \cdot s_y}\]

Der Korrelationskoeffizient r ist damit die standardisierte Kovarianz. Sie wissen ja: Wenn man über Populationsparameter spricht, dann werden in der Statistik gerne griechische Buchstaben verwendet. Auch hier ist das der Fall aus; r wird dann zu \(\rho\) („Rho”).

Signifikanztest für r

Nehmen wir folgendes Beispiel¹ (die csv-Daten finden Sie hier): Für eine kleine Gruppe von fünf Probanden soll überprüft werden, ob ein Zusammenhang zwischen einer Werbemaßnahme und deren Effektivität besteht; genauer: Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der betrachteten Werbungen und der Anzahl der anschließend gekauften Produkte? Die erhobenen Daten zeigt die folgende Abbildung. Neben den Rohdaten sind Mittelwert und Standardabweichung dargestellt.

Eine grafische Darstellung der Daten legt den Verdacht nahe, dass die Probanden umso mehr kaufen, je mehr Werbung sie gesehen haben. Der Zusammenhang ist aber sicherlich nicht perfekt.

Oder die klassische Scatterplot-Darstellung

Die Frage, die wir im Folgenden beantworten wollen, lautet wie folgt: Besteht ein Zusammenhang (bzw. eine Korrelation größer 0) zwischen den beiden untersuchten Größen?

Die Alternativhypothese lautet daher: Die Korrelation zwischen der Anzahl Werbungen und der Anzahl gekaufter Produkte ist größer als 0.

Die Nullhypothese lautet: Die Korrelation zwischen Anzahl Werbungen und Anzahl gekaufter Produkte ist kleiner oder gleich 0.

Kurz:
H₀: r ≤ 0
H₁: r > 0.

Wir befinden uns damit schon mitten in einem Signifikanztest. Was wir noch brauchen ist eine Prüfgröße oder Teststatistik, über die wir unter Gültigkeit der Nullhypothese Aussagen zur Auftretenswahrscheinlichkeit machen können.

Die altbekannte Argumentation: Wenn die Teststatistik einen Wert annimmt, dessen Auftretenswahrscheinlichkeit (oder die eines noch extremeren Wertes) unter Gültigkeit der Nullhypothese sehr unwahrscheinlich (< 5 %) ist, dann lehnen wir H₀ ab und nehmen H₁ an.

Wir sind der Teststatistik, die wir dafür brauchen, bereits begegnet: Es ist t – mit der bekannten t- Verteilung, für die wir die Freiheitsgrade (= degrees of freedom = df) wissen müssen. In der Berechnungsvorschrift muss natürlich irgendwo der Korrelationskoeffizient auftauchen.

Das tut er auch:

\[ t = \frac{r \cdot \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\]

mit df = n - 2

Zu den Berechnungen für unser Beispiel. Erst müssen wir r bestimmen. Dazu berechnen wir zuerst die Kovarianz und teilen diese dann durch das Produkt der Standardabweichungen. Die kennen wir bereits – siehe Grafik oben.

Kovarianz:

Cov = [(5-5.4)(8-11) + (4-5.4)(9-11) + (4-5.4)(10-11) + (6-5.4)(13-11) + (8-5.4)(15-11)] / (5 - 1) = 17 / 4 = 4.25

Korrelation:

r = 4.25 / (1.67 x 2.92) = 0.87

Teststatistik:

t = (0.87 x Wurzel(5 - 2)) / Wurzel(1 – 0.87²) = 3.073

Um den kritischen t-Wert zu ermitteln, verwenden wir die R-Funktion qt(). Der erste Parameter ist die Fläche der Verteilung, die der gesuchte t-Wert zu seiner Linken hat; ausgedrückt als Wahrscheinlichkeite; also: 0.95. Der zweite Parameter gibt die Anzahl der Freiheitsgrade an: n - 2.

[1] 2.353363

Der von uns berechnete empirische t-Wert (3.073) ist größer als der kritische t-Wert (2.353). Damit wissen wir, dass dieser t-Wert mehr als 95 % der Fläche der Verteilung zu seiner Linken hat.

Die genaue Wahrscheinlichkeit, dass ein solcher oder ein extremerer Wert auftritt, liefert uns die Funktion pt(). Sie benötigt als Parameter den empirischen (oder irgendeinen) Wert von t und die Anzahl der Freiheitsgrade. Der dritte Parameter gibt an, ob wir das obere oder untere Ende der Verteilung brauchen: lower.tail = FALSE.

[1] 0.027217

Wir erhalten eine Auftretenswahrscheinlichkeit von p = 0.0272. Dieser Wert ist kleiner als 0,05 (= 5%). Damit können wir die H₀ ablehnen und stattdessen die H₁ annehmen.

Die Schlussfolgerung lautet, dass ein signifikanter Zusammenhang zwischen der Anzahl an Werbungen und der Anzahl gekaufter Produkte besteht. Auch ohne R können wir den kritischen t-Wert einfach in der Tabelle der t-Verteilung (siehe unten) nachschlagen.

Übung

Die Übungen 1.+2. sind naheliegend:

1. Vollziehen Sie alle Berechnungen mit R als Taschenrechner nach.

2. Verwenden Sie die R-Funktionen zum Umgang mit der t-Verteilung – pt() und qt() – , um die entsprechenden Berechnungen nachzuvollziehen.

3. Verwenden Sie die Funktion cor() zum Berechnen von r. Die Funktionen erwartet die beiden Datenkolonnen als die beiden ersten Parameter

4. Rechnen und interpretieren Sie mit Hilfe der Funktion cor.test() einen Signifikanztest für r. Die beiden ersten Parameter sind die Werte für die Anzahl Werbungen bzw. die Anzahl Käufe. Warum unterscheidet sich der p-Wert von dem oben?

Anhang

SNV

Achtung: Die Tabelle hat zwei Hälften – oben negative unten positive z-Werte

	-.00	-.01	-.02	-.03	-.04	-.05	-.06	-.07	-.08	-.09
0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641
-0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
-0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
-0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
-0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
-0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
-0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
-0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
-0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
-0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
-1	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
-1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
-1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
-1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
-1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
-1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
-1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
-1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
-1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
-1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
-2	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
-2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
-2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
-2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
-2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
-2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
-2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
-2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
-2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
-2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
-3	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010

	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

t-Verteilung

df	0.01	0.025	0.05	0.10	0.25	0.5	0.75	0.90	0.95	0.975	0.99
1	-31.8205	-12.7062	-6.3138	-3.0777	-1.0000	0	1.0000	3.0777	6.3138	12.7062	31.8205
2	-6.9646	-4.3027	-2.9200	-1.8856	-0.8165	0	0.8165	1.8856	2.9200	4.3027	6.9646
3	-4.5407	-3.1824	-2.3534	-1.6377	-0.7649	0	0.7649	1.6377	2.3534	3.1824	4.5407
4	-3.7469	-2.7764	-2.1318	-1.5332	-0.7407	0	0.7407	1.5332	2.1318	2.7764	3.7469
5	-3.3649	-2.5706	-2.0150	-1.4759	-0.7267	0	0.7267	1.4759	2.0150	2.5706	3.3649
6	-3.1427	-2.4469	-1.9432	-1.4398	-0.7176	0	0.7176	1.4398	1.9432	2.4469	3.1427
7	-2.9980	-2.3646	-1.8946	-1.4149	-0.7111	0	0.7111	1.4149	1.8946	2.3646	2.9980
8	-2.8965	-2.3060	-1.8595	-1.3968	-0.7064	0	0.7064	1.3968	1.8595	2.3060	2.8965
9	-2.8214	-2.2622	-1.8331	-1.3830	-0.7027	0	0.7027	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214
10	-2.7638	-2.2281	-1.8125	-1.3722	-0.6998	0	0.6998	1.3722	1.8125	2.2281	2.7638
11	-2.7181	-2.2010	-1.7959	-1.3634	-0.6974	0	0.6974	1.3634	1.7959	2.2010	2.7181
12	-2.6810	-2.1788	-1.7823	-1.3562	-0.6955	0	0.6955	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810
13	-2.6503	-2.1604	-1.7709	-1.3502	-0.6938	0	0.6938	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503
14	-2.6245	-2.1448	-1.7613	-1.3450	-0.6924	0	0.6924	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245
15	-2.6025	-2.1314	-1.7531	-1.3406	-0.6912	0	0.6912	1.3406	1.7531	2.1314	2.6025
16	-2.5835	-2.1199	-1.7459	-1.3368	-0.6901	0	0.6901	1.3368	1.7459	2.1199	2.5835
17	-2.5669	-2.1098	-1.7396	-1.3334	-0.6892	0	0.6892	1.3334	1.7396	2.1098	2.5669
18	-2.5524	-2.1009	-1.7341	-1.3304	-0.6884	0	0.6884	1.3304	1.7341	2.1009	2.5524
19	-2.5395	-2.0930	-1.7291	-1.3277	-0.6876	0	0.6876	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395
20	-2.5280	-2.0860	-1.7247	-1.3253	-0.6870	0	0.6870	1.3253	1.7247	2.0860	2.5280
21	-2.5176	-2.0796	-1.7207	-1.3232	-0.6864	0	0.6864	1.3232	1.7207	2.0796	2.5176
22	-2.5083	-2.0739	-1.7171	-1.3212	-0.6858	0	0.6858	1.3212	1.7171	2.0739	2.5083
23	-2.4999	-2.0687	-1.7139	-1.3195	-0.6853	0	0.6853	1.3195	1.7139	2.0687	2.4999
24	-2.4922	-2.0639	-1.7109	-1.3178	-0.6848	0	0.6848	1.3178	1.7109	2.0639	2.4922
25	-2.4851	-2.0595	-1.7081	-1.3163	-0.6844	0	0.6844	1.3163	1.7081	2.0595	2.4851
26	-2.4786	-2.0555	-1.7056	-1.3150	-0.6840	0	0.6840	1.3150	1.7056	2.0555	2.4786
27	-2.4727	-2.0518	-1.7033	-1.3137	-0.6837	0	0.6837	1.3137	1.7033	2.0518	2.4727
28	-2.4671	-2.0484	-1.7011	-1.3125	-0.6834	0	0.6834	1.3125	1.7011	2.0484	2.4671
29	-2.4620	-2.0452	-1.6991	-1.3114	-0.6830	0	0.6830	1.3114	1.6991	2.0452	2.4620
30	-2.4573	-2.0423	-1.6973	-1.3104	-0.6828	0	0.6828	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573
31	-2.4528	-2.0395	-1.6955	-1.3095	-0.6825	0	0.6825	1.3095	1.6955	2.0395	2.4528
32	-2.4487	-2.0369	-1.6939	-1.3086	-0.6822	0	0.6822	1.3086	1.6939	2.0369	2.4487
33	-2.4448	-2.0345	-1.6924	-1.3077	-0.6820	0	0.6820	1.3077	1.6924	2.0345	2.4448
34	-2.4411	-2.0322	-1.6909	-1.3070	-0.6818	0	0.6818	1.3070	1.6909	2.0322	2.4411
35	-2.4377	-2.0301	-1.6896	-1.3062	-0.6816	0	0.6816	1.3062	1.6896	2.0301	2.4377
36	-2.4345	-2.0281	-1.6883	-1.3055	-0.6814	0	0.6814	1.3055	1.6883	2.0281	2.4345
37	-2.4314	-2.0262	-1.6871	-1.3049	-0.6812	0	0.6812	1.3049	1.6871	2.0262	2.4314
38	-2.4286	-2.0244	-1.6860	-1.3042	-0.6810	0	0.6810	1.3042	1.6860	2.0244	2.4286
39	-2.4258	-2.0227	-1.6849	-1.3036	-0.6808	0	0.6808	1.3036	1.6849	2.0227	2.4258
40	-2.4233	-2.0211	-1.6839	-1.3031	-0.6807	0	0.6807	1.3031	1.6839	2.0211	2.4233
41	-2.4208	-2.0195	-1.6829	-1.3025	-0.6805	0	0.6805	1.3025	1.6829	2.0195	2.4208
42	-2.4185	-2.0181	-1.6820	-1.3020	-0.6804	0	0.6804	1.3020	1.6820	2.0181	2.4185
43	-2.4163	-2.0167	-1.6811	-1.3016	-0.6802	0	0.6802	1.3016	1.6811	2.0167	2.4163
44	-2.4141	-2.0154	-1.6802	-1.3011	-0.6801	0	0.6801	1.3011	1.6802	2.0154	2.4141
45	-2.4121	-2.0141	-1.6794	-1.3006	-0.6800	0	0.6800	1.3006	1.6794	2.0141	2.4121
46	-2.4102	-2.0129	-1.6787	-1.3002	-0.6799	0	0.6799	1.3002	1.6787	2.0129	2.4102
47	-2.4083	-2.0117	-1.6779	-1.2998	-0.6797	0	0.6797	1.2998	1.6779	2.0117	2.4083
48	-2.4066	-2.0106	-1.6772	-1.2994	-0.6796	0	0.6796	1.2994	1.6772	2.0106	2.4066
49	-2.4049	-2.0096	-1.6766	-1.2991	-0.6795	0	0.6795	1.2991	1.6766	2.0096	2.4049
50	-2.4033	-2.0086	-1.6759	-1.2987	-0.6794	0	0.6794	1.2987	1.6759	2.0086	2.4033
51	-2.4017	-2.0076	-1.6753	-1.2984	-0.6793	0	0.6793	1.2984	1.6753	2.0076	2.4017
52	-2.4002	-2.0066	-1.6747	-1.2980	-0.6792	0	0.6792	1.2980	1.6747	2.0066	2.4002
53	-2.3988	-2.0057	-1.6741	-1.2977	-0.6791	0	0.6791	1.2977	1.6741	2.0057	2.3988
54	-2.3974	-2.0049	-1.6736	-1.2974	-0.6791	0	0.6791	1.2974	1.6736	2.0049	2.3974
55	-2.3961	-2.0040	-1.6730	-1.2971	-0.6790	0	0.6790	1.2971	1.6730	2.0040	2.3961
56	-2.3948	-2.0032	-1.6725	-1.2969	-0.6789	0	0.6789	1.2969	1.6725	2.0032	2.3948
57	-2.3936	-2.0025	-1.6720	-1.2966	-0.6788	0	0.6788	1.2966	1.6720	2.0025	2.3936
58	-2.3924	-2.0017	-1.6716	-1.2963	-0.6787	0	0.6787	1.2963	1.6716	2.0017	2.3924
59	-2.3912	-2.0010	-1.6711	-1.2961	-0.6787	0	0.6787	1.2961	1.6711	2.0010	2.3912
60	-2.3901	-2.0003	-1.6706	-1.2958	-0.6786	0	0.6786	1.2958	1.6706	2.0003	2.3901
61	-2.3890	-1.9996	-1.6702	-1.2956	-0.6785	0	0.6785	1.2956	1.6702	1.9996	2.3890
62	-2.3880	-1.9990	-1.6698	-1.2954	-0.6785	0	0.6785	1.2954	1.6698	1.9990	2.3880
63	-2.3870	-1.9983	-1.6694	-1.2951	-0.6784	0	0.6784	1.2951	1.6694	1.9983	2.3870
64	-2.3860	-1.9977	-1.6690	-1.2949	-0.6783	0	0.6783	1.2949	1.6690	1.9977	2.3860
65	-2.3851	-1.9971	-1.6686	-1.2947	-0.6783	0	0.6783	1.2947	1.6686	1.9971	2.3851
66	-2.3842	-1.9966	-1.6683	-1.2945	-0.6782	0	0.6782	1.2945	1.6683	1.9966	2.3842
67	-2.3833	-1.9960	-1.6679	-1.2943	-0.6782	0	0.6782	1.2943	1.6679	1.9960	2.3833
68	-2.3824	-1.9955	-1.6676	-1.2941	-0.6781	0	0.6781	1.2941	1.6676	1.9955	2.3824
69	-2.3816	-1.9949	-1.6672	-1.2939	-0.6781	0	0.6781	1.2939	1.6672	1.9949	2.3816
70	-2.3808	-1.9944	-1.6669	-1.2938	-0.6780	0	0.6780	1.2938	1.6669	1.9944	2.3808
71	-2.3800	-1.9939	-1.6666	-1.2936	-0.6780	0	0.6780	1.2936	1.6666	1.9939	2.3800
72	-2.3793	-1.9935	-1.6663	-1.2934	-0.6779	0	0.6779	1.2934	1.6663	1.9935	2.3793
73	-2.3785	-1.9930	-1.6660	-1.2933	-0.6779	0	0.6779	1.2933	1.6660	1.9930	2.3785
74	-2.3778	-1.9925	-1.6657	-1.2931	-0.6778	0	0.6778	1.2931	1.6657	1.9925	2.3778
75	-2.3771	-1.9921	-1.6654	-1.2929	-0.6778	0	0.6778	1.2929	1.6654	1.9921	2.3771
76	-2.3764	-1.9917	-1.6652	-1.2928	-0.6777	0	0.6777	1.2928	1.6652	1.9917	2.3764
77	-2.3758	-1.9913	-1.6649	-1.2926	-0.6777	0	0.6777	1.2926	1.6649	1.9913	2.3758
78	-2.3751	-1.9908	-1.6646	-1.2925	-0.6776	0	0.6776	1.2925	1.6646	1.9908	2.3751
79	-2.3745	-1.9905	-1.6644	-1.2924	-0.6776	0	0.6776	1.2924	1.6644	1.9905	2.3745
80	-2.3739	-1.9901	-1.6641	-1.2922	-0.6776	0	0.6776	1.2922	1.6641	1.9901	2.3739
81	-2.3733	-1.9897	-1.6639	-1.2921	-0.6775	0	0.6775	1.2921	1.6639	1.9897	2.3733
82	-2.3727	-1.9893	-1.6636	-1.2920	-0.6775	0	0.6775	1.2920	1.6636	1.9893	2.3727
83	-2.3721	-1.9890	-1.6634	-1.2918	-0.6775	0	0.6775	1.2918	1.6634	1.9890	2.3721
84	-2.3716	-1.9886	-1.6632	-1.2917	-0.6774	0	0.6774	1.2917	1.6632	1.9886	2.3716
85	-2.3710	-1.9883	-1.6630	-1.2916	-0.6774	0	0.6774	1.2916	1.6630	1.9883	2.3710
86	-2.3705	-1.9879	-1.6628	-1.2915	-0.6774	0	0.6774	1.2915	1.6628	1.9879	2.3705
87	-2.3700	-1.9876	-1.6626	-1.2914	-0.6773	0	0.6773	1.2914	1.6626	1.9876	2.3700
88	-2.3695	-1.9873	-1.6624	-1.2912	-0.6773	0	0.6773	1.2912	1.6624	1.9873	2.3695
89	-2.3690	-1.9870	-1.6622	-1.2911	-0.6773	0	0.6773	1.2911	1.6622	1.9870	2.3690
90	-2.3685	-1.9867	-1.6620	-1.2910	-0.6772	0	0.6772	1.2910	1.6620	1.9867	2.3685
91	-2.3680	-1.9864	-1.6618	-1.2909	-0.6772	0	0.6772	1.2909	1.6618	1.9864	2.3680
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94	-2.3667	-1.9855	-1.6612	-1.2906	-0.6771	0	0.6771	1.2906	1.6612	1.9855	2.3667
95	-2.3662	-1.9853	-1.6611	-1.2905	-0.6771	0	0.6771	1.2905	1.6611	1.9853	2.3662
96	-2.3658	-1.9850	-1.6609	-1.2904	-0.6771	0	0.6771	1.2904	1.6609	1.9850	2.3658
97	-2.3654	-1.9847	-1.6607	-1.2903	-0.6770	0	0.6770	1.2903	1.6607	1.9847	2.3654
98	-2.3650	-1.9845	-1.6606	-1.2902	-0.6770	0	0.6770	1.2902	1.6606	1.9845	2.3650
99	-2.3646	-1.9842	-1.6604	-1.2902	-0.6770	0	0.6770	1.2902	1.6604	1.9842	2.3646
100	-2.3642	-1.9840	-1.6602	-1.2901	-0.6770	0	0.6770	1.2901	1.6602	1.9840	2.3642

Footnotes

1. Das Beispiel und die beiden Abbildungen habe ich aus Andy Field (2018): Discovering Statistics Using SPSS. Das Buch gibt es auch in einer Variante mit R; eine neue Auflage ist für 2025 angekündigt.