Übungsaufgaben Statistik – Konfidenzintervalle

Author

Prof. Dr. Armin Eichinger

Hinweis: Für alle folgenden Aufgaben können Sie davon ausgehen, dass das relevante Merkmal in der Population normalverteilt ist.

Aufgabe 1

Ein Unternehmen möchte den durchschnittlichen Monatslohn seiner Angestellten schätzen. Eine Stichprobe von 50 Angestellten wurde zufällig ausgewählt und es wurde festgestellt, dass der durchschnittliche Monatslohn dieser Stichprobe 3.200 Euro beträgt. Die Standardabweichung des Monatslohns in der Population beträgt 600 Euro.

Aufgabenstellung

  1. Berechne das 95%-Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Monatslohn aller Angestellten in diesem Unternehmen.
  2. Interpretiere das Ergebnis.

Lösungsschritte

  1. Berechne den Standardfehler des Mittelwerts (SE):

    \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

    wobei:

    • \(\sigma\) die Standardabweichung der Population (600 Euro) ist
    • \(n\) die Stichprobengröße (50) ist

  2. Bestimme den kritischen Wert (z-Wert) für ein 95%-Konfidenzintervall:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall ist der z-Wert ungefähr 1,96.

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = \bar{x} \pm (z \times SE) \]

    wobei:

    • \(\bar{x}\) der Stichprobenmittelwert (3.200 Euro) ist
    • \(z\) der kritische z-Wert (1,96) ist
    • \(SE\) der Standardfehler des Mittelwerts ist

Beispielrechnung

  1. Berechne den Standardfehler (SE):

    \[ SE = \frac{600}{\sqrt{50}} \approx \frac{600}{7,071} \approx 84,85 \]

  2. Bestimme den kritischen Wert:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall: \(z \approx 1,96\)

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 3200 \pm (1,96 \times 84,85) \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 3200 \pm 166,31 \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = [3033,69, 3366,31] \]

Interpretation

Wir sind zu 95% sicher, dass der durchschnittliche Monatslohn aller Angestellten in diesem Unternehmen zwischen 3.033,69 Euro und 3.366,31 Euro liegt.

Aufgabe 2

Ein Forscher möchte das durchschnittliche Gewicht von Äpfeln in einem Obstgarten bestimmen. Eine Stichprobe von 40 Äpfeln zeigt ein durchschnittliches Gewicht von 150 Gramm mit einer Standardabweichung von 20 Gramm.

Aufgabenstellung

  1. Berechne das 95%-Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Äpfel im Obstgarten.
  2. Interpretiere das Ergebnis.

Lösungsschritte

  1. Berechne den Standardfehler des Mittelwerts (SE):

    \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

    wobei:

    • \(\sigma\) die Standardabweichung der Population (20 Gramm) ist
    • \(n\) die Stichprobengröße (40) ist

  2. Bestimme den kritischen Wert (z-Wert) für ein 95%-Konfidenzintervall:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall ist der z-Wert ungefähr 1,96.

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = \bar{x} \pm (z \times SE) \]

    wobei:

    • \(\bar{x}\) der Stichprobenmittelwert (150 Gramm) ist
    • \(z\) der kritische z-Wert (1,96) ist
    • \(SE\) der Standardfehler des Mittelwerts ist

Beispielrechnung

  1. Berechne den Standardfehler (SE):

    \[ SE = \frac{20}{\sqrt{40}} \approx \frac{20}{6,32} \approx 3,16 \]

  2. Bestimme den kritischen Wert:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall: \(z \approx 1,96\)

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 150 \pm (1,96 \times 3,16) \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 150 \pm 6,19 \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = [143,81, 156,19] \]

Interpretation

Wir sind zu 95% sicher, dass das durchschnittliche Gewicht der Äpfel im Obstgarten zwischen 143,81 Gramm und 156,19 Gramm liegt.

Aufgabe 3

Ein Restaurant möchte den durchschnittlichen Betrag, den Kunden pro Besuch ausgeben, ermitteln. Eine Stichprobe von 30 Kunden zeigt einen durchschnittlichen Betrag von 45 Euro mit einer Standardabweichung von 10 Euro.

Aufgabenstellung

  1. Berechne das 95%-Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Betrag, den Kunden pro Besuch im Restaurant ausgeben.
  2. Interpretiere das Ergebnis.

Lösungsschritte

  1. Berechne den Standardfehler des Mittelwerts (SE):

    \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

    wobei:

    • \(\sigma\) die Standardabweichung der Population (10 Euro) ist
    • \(n\) die Stichprobengröße (30) ist

  2. Bestimme den kritischen Wert (z-Wert) für ein 95%-Konfidenzintervall:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall ist der z-Wert ungefähr 1,96.

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = \bar{x} \pm (z \times SE) \]

    wobei:

    • \(\bar{x}\) der Stichprobenmittelwert (45 Euro) ist
    • \(z\) der kritische z-Wert (1,96) ist
    • \(SE\) der Standardfehler des Mittelwerts ist

Beispielrechnung

  1. Berechne den Standardfehler (SE):

    \[ SE = \frac{10}{\sqrt{30}} \approx \frac{10}{5,48} \approx 1,83 \]

  2. Bestimme den kritischen Wert:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall: \(z \approx 1,96\)

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 45 \pm (1,96 \times 1,83) \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 45 \pm 3,58 \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = [41,42, 48,58] \]

Interpretation

Wir sind zu 95% sicher, dass der durchschnittliche Betrag, den Kunden pro Besuch im Restaurant ausgeben, zwischen 41,42 Euro und 48,58 Euro liegt.

Aufgabe 4

Ein Sportverein möchte die durchschnittliche Anzahl von Stunden schätzen, die Mitglieder pro Woche trainieren. Eine Stichprobe von 25 Mitgliedern zeigt eine durchschnittliche Trainingszeit von 5 Stunden pro Woche mit einer Standardabweichung von 1,5 Stunden.

Aufgabenstellung

  1. Berechne das 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Trainingszeit der Mitglieder pro Woche.
  2. Interpretiere das Ergebnis.

Lösungsschritte

  1. Berechne den Standardfehler des Mittelwerts (SE):

    \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

    wobei:

    • \(\sigma\) die Standardabweichung der Population (1,5 Stunden) ist
    • \(n\) die Stichprobengröße (25) ist

  2. Bestimme den kritischen Wert (t-Wert) für ein 95%-Konfidenzintervall:

    Da \(n < 30\), verwenden wir den t-Wert für 24 Freiheitsgrade (df = n - 1). Für ein 95%-Konfidenzintervall und 24 Freiheitsgrade ist der t-Wert ungefähr 2,064.

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = \bar{x} \pm (t \times SE) \]

    wobei:

    • \(\bar{x}\) der Stichprobenmittelwert (5 Stunden) ist
    • \(t\) der kritische t-Wert (2,064) ist
    • \(SE\) der Standardfehler des Mittelwerts ist

Beispielrechnung

  1. Berechne den Standardfehler (SE):

    \[ SE = \frac{1,5}{\sqrt{25}} = \frac{1,5}{5} = 0,3 \]

  2. Bestimme den kritischen Wert:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall: \(t \approx 2,064\)

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 5 \pm (2,064 \times 0,3) \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 5 \pm 0,619 \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = [4,381, 5,619] \]

Interpretation

Wir sind zu 95% sicher, dass die durchschnittliche Trainingszeit der Mitglieder pro Woche zwischen 4,381 Stunden und 5,619 Stunden liegt.

Aufgabe 5

Ein Wissenschaftler untersucht die durchschnittliche Konzentration eines bestimmten Schadstoffs in einem Fluss. Eine Stichprobe von 20 Wasserproben zeigt eine durchschnittliche Konzentration von 8 ppm (parts per million) mit einer Standardabweichung von 2 ppm.

Aufgabenstellung

  1. Berechne das 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Schadstoffkonzentration im Fluss.
  2. Interpretiere das Ergebnis.

Lösungsschritte

  1. Berechne den Standardfehler des Mittelwerts (SE):

    \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

    wobei:

    • \(\sigma\) die Standardabweichung der Population (2 ppm) ist
    • \(n\) die Stichprobengröße (20) ist

  2. Bestimme den kritischen Wert (t-Wert) für ein 95%-Konfidenzintervall:

    Da \(n < 30\), verwenden wir den t-Wert für 19 Freiheitsgrade (df = n - 1). Für ein 95%-Konfidenzintervall und 19 Freiheitsgrade ist der t-Wert ungefähr 2,093.

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = \bar{x} \pm (t \times SE) \]

    wobei:

    • \(\bar{x}\) der Stichprobenmittelwert (8 ppm) ist
    • \(t\) der kritische t-Wert (2,093) ist
    • \(SE\) der Standardfehler des Mittelwerts ist

Beispielrechnung

  1. Berechne den Standardfehler (SE):

    \[ SE = \frac{2}{\sqrt{20}} \approx \frac{2}{4,472} \approx 0,447 \]

  2. Bestimme den kritischen Wert:

    Für ein 95%-Konfidenzintervall: \(t \approx 2,093\)

  3. Berechne das Konfidenzintervall:

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 8 \pm (2,093 \times 0,447) \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = 8 \pm 0,935 \]

    \[ \text{Konfidenzintervall} = [7,065, 8,935] \]

Interpretation

Wir sind zu 95% sicher, dass die durchschnittliche Schadstoffkonzentration im Fluss zwischen 7,065 ppm und 8,935 ppm liegt.