Ein großer Online-Händler möchte die durchschnittliche Zufriedenheit seiner Kundschaft messen. Dafür wird ein Zufriedenheits-Score (Skala 1–10) herangezogen.
Angenommen, wir haben folgende Daten einer Umfrage (n = 50), in der Teilnehmende zufällig ausgewählt wurden. Die folgende Liste zeigt den Zufriedenheits-Score der 50 Befragten.
# Beispielhafte Zufriedenheits-Scores (n=50)
zufriedenheit <- c(
7.0, 6.5, 8.2, 5.9, 6.8, 7.1, 7.8, 6.4, 7.3, 7.0,
6.8, 7.2, 6.9, 7.3, 8.0, 5.9, 6.5, 7.2, 7.1, 6.4,
7.9, 8.1, 7.5, 6.7, 7.0, 7.6, 6.9, 7.8, 6.1, 6.2,
7.4, 7.7, 6.8, 7.1, 7.2, 8.3, 6.3, 7.0, 7.5, 7.1,
6.7, 6.9, 7.3, 7.1, 6.4, 7.0, 7.6, 8.0, 7.4, 6.2
)
sd(zufriedenheit)[1] 0.5971668Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert in der Grundgesamtheit. Verwenden Sie dazu die statistischen Grundfunktionen von R (also keine Funktion, die das 95%-KI ausgibt).
# 1) Stichprobenmittelwert berechnen
mean_zufriedenheit <- mean(zufriedenheit)
mean_zufriedenheit[1] 7.082sd_zufriedenheit <- sd(zufriedenheit)
sd_zufriedenheit[1] 0.5971668# 2) 95%-Konfidenzintervall mit z-Statistik
alpha <- 0.05
z_crit <- qnorm(1 - alpha/2) # speziell hier: z-Wert für 95%-KI = 1.96
sigma <- sd_zufriedenheit # bekannte Standardabweichung
n <- length(zufriedenheit)
# Standardfehler des Mittelwerts
se <- sigma / sqrt(n)
# Konfidenzintervall
ci_lower <- mean_zufriedenheit - z_crit * se
ci_upper <- mean_zufriedenheit + z_crit * se
c(ci_lower, ci_upper)[1] 6.916477 7.247523Interpretation (Beispiel):
Das berechnete 95%-Konfidenzintervall gibt einen Bereich an, in dem der wahre mittlere Zufriedenheits-Score mit 95%iger Wahrscheinlichkeit liegt.
Ein Beratungsunternehmen möchte die Wirkung eines neuen Schulungsformats für Führungskräfte testen. Ein Pilotversuch wurde mit lediglich 4 Personen durchgeführt (aufgrund logistischer Einschränkungen). Die Variable, die gemessen wird, ist der zeitliche Aufwand (in Stunden), den die Teilnehmenden durchschnittlich für die Bearbeitung zusätzlicher Übungsaufgaben aufbringen.
Die folgende Stichprobe (n = 4) zeigt die Werte in Stunden.
[1] 5.2 4.8 6.1 5.5Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert. Lösen Sie die Aufgabe mit dem Taschenrechner.
Stichprobenmittelwert: 5.4Standardabweichung: 0.548Freiheitsgrade (df): 3t-Wert: 3.182Standardfehler: 0.27495%-KI (von, bis): 4.528 6.272Interpretation (Beispiel):
Bei nur 4 Personen ist das Intervall in der Regel recht breit, weil die Schätzung des Mittelwerts mit größerer Unsicherheit verbunden ist.