Übungsaufgaben Statistik – z-Transformation

Hinweis: Die folgenden Aufgaben behandeln die Anwendung der z-Transformation, insbesondere im Kontext der Wirtschaftspsychologie. Dabei wird davon ausgegangen, dass die relevanten Merkmale normalverteilt sind.

Lösen Sie die Aufgaben mit Taschenrechner und Tabelle.

Aufgabe 1: Vergleich von Arbeitszufriedenheit

In einem Unternehmen wird der Zufriedenheitswert der Mitarbeiter gemessen. Der Wert folgt einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 75 Punkten und einer Standardabweichung von 10 Punkten.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mitarbeiter einen Zufriedenheitswert unter 65 Punkten hat?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zufriedenheitswert eines Mitarbeiters zwischen 70 und 80 Punkten liegt?
3. Ab welchem Wert gehört ein Mitarbeiter zu den zufriedensten 10 % der Belegschaft?

R-Lösung:

# Gegebene Werte
mean_value <- 75
sd_value <- 10

# Wahrscheinlichkeit für Zufriedenheitswert unter 65
pnorm(65, mean = mean_value, sd = sd_value)

[1] 0.1586553

# Wahrscheinlichkeit für Werte zwischen 70 und 80
pnorm(80, mean = mean_value, sd = sd_value) - pnorm(70, mean = mean_value, sd = sd_value)

[1] 0.3829249

# Wert für die Top 10 %
z_top_10 <- qnorm(0.9, mean = mean_value, sd = sd_value)
z_top_10

[1] 87.81552

Aufgabe 2: Leistungstests in der Personalpsychologie

Ein standardisierter Leistungstest wird verwendet, um Kandidaten zu bewerten. Der Test hat einen Mittelwert von 100 Punkten und eine Standardabweichung von 15 Punkten.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat einen Wert von mehr als 120 Punkten erzielt?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat zwischen 85 und 115 Punkten liegt?
3. Ab welchem Wert gehören die Kandidaten zu den besten 5 %?

R-Lösung:

# Gegebene Werte
mean_test <- 100
sd_test <- 15

# Wahrscheinlichkeit für Wert > 120
1 - pnorm(120, mean = mean_test, sd = sd_test)

[1] 0.09121122

# Wahrscheinlichkeit für Werte zwischen 85 und 115
pnorm(115, mean = mean_test, sd = sd_test) - pnorm(85, mean = mean_test, sd = sd_test)

[1] 0.6826895

# Wert für die Top 5 %
z_top_5 <- qnorm(0.95, mean = mean_test, sd = sd_test)
z_top_5

[1] 124.6728

Aufgabe 3: Kundenbewertung einer Dienstleistung

Die Kundenzufriedenheit für eine Dienstleistung wird mit einer Skala von 1 bis 10 bewertet und ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 8,0 und einer Standardabweichung von 1,0.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde die Dienstleistung mit weniger als 6 Punkten bewertet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde die Dienstleistung mit mindestens 9 Punkten bewertet?
3. Ab welchem Wert gehören Kundenbewertungen zu den schlechtesten 5 %?

R-Lösung:

# Gegebene Werte
mean_rating <- 8.0
sd_rating <- 1.0

# Wahrscheinlichkeit für Bewertung < 6
pnorm(6, mean = mean_rating, sd = sd_rating)

[1] 0.02275013

# Wahrscheinlichkeit für Bewertung ≥ 9
1 - pnorm(9, mean = mean_rating, sd = sd_rating)

[1] 0.1586553

# Wert für die schlechtesten 5 %
z_bottom_5 <- qnorm(0.05, mean = mean_rating, sd = sd_rating)
z_bottom_5

[1] 6.355146