Ziel: Objekte so im Wahrnehmungsraum positionieren, dass ähnliche Objekte nahe beieinander und unähnliche weit voneinander entfernt sind; „kognitive Landkarten“
Un-/Ähnlichkeiten werden in räumliche Distanzen umgerechnet
Abgrenzung zur Faktorenanalyse
Entsprechung: Faktorwerte
Unterschied: MDS beruht auf subjektiv empfunden Un-/Ähnlichkeiten; Faktorenanalyse beruht auf Ausprägungen der Objekte auf ausgewiesenen Attributen
Vorteile MDS:
Attribute können unbekannt sein
keine Beeinflussung durch Verbalisierung von Attributen
Nachteile MDS:
Interpretation der Ergebnisse ist schwieriger
Bezug zwischen den Dimensionen des Wahrnehmungsraums und Eigenschaften der Elemente/Merkmalsträger ist nicht so offensichtlich
Schritte einer MDS
Erheben der Ähnlichkeiten
(Wahl des Distanzmodells; meist euklidischer Abstand)
Ermittlung der Konfiguration
Zahl/Ermittlung der Dimensionen
Aggregation über Personen
Konfiguration
Objekte werden räumlich repräsentiert und haben dadurch Distanzen zueinander
Distanzen sollen groß sein, wenn die Unähnlichkeit zwischen Objekten groß ist
Wenn die Unähnlichkeit zwischen einem Paar von Objekten kleiner ist als zwischen einem anderen Paar, dann soll auch die entsprechende Distanz kleiner sein
Güte der Konfiguration: STRESS = STandardized REsidual Sum of Squares
STRESS – Formel nach Kruskal (Stress-1)
STRESS-Maß misst, wie gut die Distanzen die Ähnlichkeiten repräsentieren
\(d_{ij}\): Die Distanzen zwischen den Objekten \(i\) und \(j\) im ursprünglichen, hochdimensionalen Raum.
\(\hat{d}_{ij}\): Die entsprechenden Distanzen zwischen den Objekten \(i\) und \(j\) im niedrigdimensionalen MDS-Raum.
Erklärung der Formel
Zähler\(\sum_{i < j} \left( d_{ij} - \hat{d}_{ij} \right)^2\): Der Zähler summiert die quadrierten Unterschiede zwischen den ursprünglichen Distanzen \(d_{ij}\) und den Distanzen \(\hat{d}_{ij}\) im MDS-Raum. Je größer diese Unterschiede sind, desto größer wird der Stress-Wert, was auf eine schlechtere Anpassung der MDS-Lösung hinweist.
Nenner\(\sum_{i < j} d_{ij}^2\): Der Nenner ist die Summe der quadrierten ursprünglichen Distanzen. Dieser dient zur Normalisierung, sodass der Stress-Wert unabhängig von der absoluten Skalierung der Distanzen ist.
Quadratwurzel: Die Quadratwurzel wird genommen, um den Stress-Wert in denselben Einheiten wie die Distanzen auszudrücken.
Interpretation des Stress-Werts
Anmerkung: Manchmal wird auch ein Stressmaß erzeugt, das 100mal größer ist. Es kann dann als Prozent Stress interpretiert werden.
Stress ( < 0,05 ): Sehr gute Anpassung. Die MDS-Lösung repräsentiert die Distanzen sehr gut.
Stress ( 0,05 ) bis ( 0,1 ): Gute Anpassung. Die MDS-Lösung ist akzeptabel.
Stress ( 0,1 ) bis ( 0,2 ): Mäßige Anpassung. Die MDS-Lösung ist noch nützlich, aber die Verzerrung ist deutlicher.
Stress ( > 0,2 ): Schlechte Anpassung. Die MDS-Lösung sollte mit Vorsicht interpretiert werden.
Datenverdichtung
Verdichtungskoeffizient\(Q = \frac{O(O-1)/2}{O \cdot k} = \frac{Zahl \: der \: Ähnlichkeiten}{Zahl \: der \: Koordinaten}\)
mit \(O\): Zahl der Objekte; \(k\): Zahl der Dimesionen
# CSV-Datei einlesensimilarities <-read.csv("./data/eissorten_similarities.csv", row.names =1, sep=";", dec =",")#similarities <- read.csv("https://bookdown.org/Armin_E/explorativ-multivariat-mds/data/eissorten_similarities.csv", #row.names = 1, sep=";", dec = ".")similarities
Vanille Schokolade Erdbeer Stracciatella Joghurt Kaffee Zitrone
Vanille 7.00 NA NA NA NA NA NA
Schokolade 3.45 7.00 NA NA NA NA NA
Erdbeer 2.55 2.09 7.00 NA NA NA NA
Stracciatella 4.18 4.64 2.00 7.00 NA NA NA
Joghurt 3.36 2.45 3.73 4.18 7.00 NA NA
Kaffee 3.45 4.36 1.73 3.45 2.09 7.00 NA
Zitrone 2.00 1.64 2.91 2.09 3.36 1.45 7.00
Haselnuss 3.36 4.73 2.00 3.18 2.09 4.00 1.82
Himbeer 3.09 1.91 5.64 1.82 2.91 2.00 3.55
Haselnuss Himbeer
Vanille NA NA
Schokolade NA NA
Erdbeer NA NA
Stracciatella NA NA
Joghurt NA NA
Kaffee NA NA
Zitrone NA NA
Haselnuss 7 NA
Himbeer 2 7
Symmetrische Ähnlichkeitsmatrix
# DataFrame in eine Matrix umwandelnsimilarities_matrix <-as.matrix(similarities)# Die Matrix symmetrisieren: untere Dreiecksmatrix nach oben kopierensymmetrized_matrix <- similarities_matrixsymmetrized_matrix[upper.tri(symmetrized_matrix)] <-t(symmetrized_matrix)[upper.tri(symmetrized_matrix)]# Die symmetrisierte Matrix der Ähnlichkeiten anzeigensimilarities <- symmetrized_matrixsimilarities
library(MASS) #hier finden wir die Funktion isoMDS()# Herzstück: Durchführung der MDS für k=2 und k=1# isoMDS(): nichtmetrische MDSmds_result <-isoMDS(distances, k=2, trace =FALSE)mds_result_1 <-isoMDS(distances, k=1, trace =FALSE)# Stress-Werte explizit anzeigenmds_result$stress
[1] 7.034366
mds_result_1$stress
[1] 17.67899
##### unwichtig: nur Aufhübschen ############ Ermittlung der Ausdehnung der Punkte für k=2xrange <-range(mds_result$points[, 1])yrange <-range(mds_result$points[, 2])# Erweiterung der Ränder, damit Labels nicht abgeschnitten werdenxlim <- xrange +c(-1, 1) *diff(xrange) *0.2ylim <- yrange +c(-1, 1) *diff(yrange) *0.2########################################
Plot für k=2
# Ergebnisse plotten für k=2plot(mds_result$points, type ="p", main ="MDS Eissorten (k=2)", xlab ="Dimension 1", ylab ="Dimension 2", xlim = xlim, ylim = ylim)text(mds_result$points, labels =rownames(distances), cex =0.8, pos =1)
Plot für k=1
##### Plot für k=1 ############ Extrahieren der MDS-Koordinaten für k=1mds_points_1 <- mds_result_1$points[, 1]# Da k=1 nur eine Dimension hat, plottet man diese entlang der x-Achse# rep(0, length(mds_points_1)) setzt die Y-Werte auf 0plot(mds_points_1, rep(0, length(mds_points_1)), type ="p", main ="MDS Eissorten (k=1)", xlab ="Dimension 1", ylab ="", xlim =range(mds_points_1), ylim =c(-1, 1))# Namen der Eissorten hinzufügentext(mds_points_1, rep(0, length(mds_points_1)), labels =rownames(distances), cex =0.8, pos =1)
# Berechnung von R² für k=2original_distances <-as.vector(dist(distances))mds_distances <-as.vector(dist(mds_result$points))R_squared <-cor(original_distances, mds_distances)^2R_squared
[1] 0.8725402
# Berechnung der Stress-Werte für verschiedene Dimensionenstress_values <-sapply(1:5, function(k) {isoMDS(distances, k = k, trace =FALSE)$stress})plot(1:5, stress_values, type ="b", main ="Stress-Plot", xlab ="Anzahl der Dimensionen", ylab ="Stress")
# Berechnung des Verdichtungskoeffizienten Q# Anzahl der Objekte (num_obj)num_obj <-nrow(distances)# Anzahl der Dimensionen (k)k1 <-1k2 <-2# Berechnung von Q für k=1Q_k1 <- (num_obj * (num_obj -1) /2) / (num_obj * k1)cat("Verdichtungskoeffizient Q für k=1: ", Q_k1, "\n")
Verdichtungskoeffizient Q für k=1: 4
# Berechnung von Q für k=2Q_k2 <- (num_obj * (num_obj -1) /2) / (num_obj * k2)cat("Verdichtungskoeffizient Q für k=2: ", Q_k2, "\n")
Verdichtungskoeffizient Q für k=2: 2
Ähnlichkeiten/Distanzen bestimmen
Distanz = max(Ähnlichkeit) - Ähnlichkeit
Rangreihung
klassisches Verfahren
Paare von Objekten auf Kärtchen
Sortierung nach Ähnlichkeit
Anzahl von nötigen Vergleichen: n x (n-1)/2
Erleichterung durch iterative Bildung von Untergruppen: „Ähnliche“ & „Unähnliche“
Für individuelle, nicht aggregierte Lösungen besonders geeignet
Ankerpunktmethode
Jedes Objekt dient einmal als Vergleichsobjekt
Vergleich mit allen anderen Objekten nach Ähnlichkeit
Ergebnis: n-1 Ränge pro Objekt; also n x (n-1) Werte
Die resultierende Datenmatrix ist meist unsymmetrisch
Abhilfe ist Symmetrisieren: \(d_{neu} = \frac{d_1 + d_2}{2}\))
Ratingverfahren
vgl. Beispiel: Eissorten
Ähnlichkeiten werden auf Rating-Skalen eingeschätzt
Anzahl von nötigen Bewertungen: n x (n-1)/2
Vorteile:
schnell und einfach, da die Ähnlichkeitsurteile relativ isoliert von anderen Ähnlichkeiten angegeben werden
praktikabel auch für viele Objekte
Nachteile:
Stabilisierung durch Vergleiche mit anderen Paaren entfällt
Daten ungenauer, wegen begrenzter Kategorienanzahl
→ Ties (verbundene Ränge)
Aggregation von Personen
Aggregation von Personen
Aggregation der Ausgangswerte: Mittwelwerte (vgl. Beispiel Eissorten), Medianbildung
Alternativ: Je Person eine MDS; Aggregation (Mittelwerte) der Koordinaten
Das meint ChatGPT: Wenn die Erhaltung individueller Unterschiede wichtig ist, scheint die zweite Methode (separate MDS pro Person und Aggregation der Koordinaten) besser geeignet. Bei eher homogenen Gruppen oder wenn eine schnellere, einfachere Berechnung bevorzugt wird, kann die Aggregation der Ausgangswerte (Mittelwert oder Median) ausreichen.
Weitere Attribute berücksichtigen: Property Fitting
Property Fitting: Idee
Die X- und Y-Koordinaten der Objekte gehen als Prädiktoren in eine Regressionsanalyse ein
Jedes einzelne Attribut ist einmal Kriterium
Für jedes Attribut wird also eine Analyse durchgeführt
Wenn die Modellierung erfolgreich ist (signifikantes Ergebnis, hohes R²), bestimmen die Gewichte einen Vektor im MDS-Raum
Die Objekte können auf den Vektor projiziert werden
Die Dimensionen können nach Lage zu den Attribut-Vektoren interpretiert werden
Property Fitting in R – Output
Call:
lm(formula = Milchanteil ~ MDS1 + MDS2, data = data)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-15.7391 -8.0975 0.5086 6.6030 15.7917
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 40.000 3.840 10.417 4.59e-05 ***
MDS1 5.461 1.686 3.240 0.0177 *
MDS2 3.483 3.460 1.006 0.3530
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 11.52 on 6 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6938, Adjusted R-squared: 0.5917
F-statistic: 6.797 on 2 and 6 DF, p-value: 0.02872
Property Fitting in R – Code
# Beispiel-Daten: Milchanteile für die Eissortenmilchanteile <-c(60, 50, 30, 50, 40, 50, 0, 50, 30) # Schätzwerte für die genannten Sorten# Erstellen eines Dataframes mit den MDS-Koordinaten und Milchanteilendata <-data.frame(MDS1 = mds_result$points[, 1], MDS2 = mds_result$points[, 2], Milchanteil = milchanteile)# Durchführung der linearen Regressionregression_model <-lm(Milchanteil ~ MDS1 + MDS2, data=data)# Zusammenfassung des Regressionsmodells anzeigensummary(regression_model)# Speichern der Steigung und des Interceptsb0 <-0b1 <-coef(regression_model)[3] /coef(regression_model)[2] # evtl. 2 und 3 vertauschen; ich glaube aber es stimmt so# Plot der MDS-Koordinatenplot(mds_result$points, main ="MDS-Lösung mit Regressionsgerade", xlab ="Dimension 1", ylab ="Dimension 2", xlim = xlim, ylim = ylim, asp=1)text(mds_result$points, labels =rownames(data), pos =3)# Hinzufügen der Regressionsgeradeabline(a = b0, b = b1, col ="red", lwd =2)steigung <- b1for (i in1:nrow(data)) {# Koordinaten des Datenpunkts x0 <- data$MDS1[i] y0 <- data$MDS2[i]# Berechnung des Lotfußpunkts (x1, y1) auf die Linie y = steigung * x x1 <- (x0 + steigung * y0) / (1+ steigung^2) y1 <- steigung * x1# Zeichnen des Lotssegments(x0, y0, x1, y1, col ="blue", lwd =2)# Zeichnen des Lotfußpunktspoints(x1, y1, col ="blue", pch =19)}
Schließlich …
Empfehlungen
Zahl der Objekte sollte nicht zu klein sein; möglichst mehr als acht
Ratingverfahren bei vielen Vergleichen; Rangreihen für genauere Daten
(Distanzmodell: häufig euklidische Distanz)
Zwei- o. dreidimensionale Lösung anstreben
Rotation der Achsen erleichtert ggf. die Interpretation
Interpretation ist umso leichter, je größer die Sachkenntnis
