Asesoramiento financiero 1: crédito y productos financieros. Resolución actividad 2
Enunciado caso 1:
Un cliente te ha confiado la cantidad de 50.000 euros para que la inviertas en dos fondos de inversión: uno de renta variable y otro de renta fija.
En el mercado, las expectativas de rentabilidad y volatilidad que se prevén para ambos fondos el próximo año son:
| Fondo (activo número) | Rentabilidad (%) | Volatilidad (%) |
|---|---|---|
| Renta Variable (1) | 18 | 27 |
| Renta Fija (2) | 6 | 8 |
Se pide:
a) Calcular la rentabilidad esperada de la cartera formada por un 24% de renta variable y un 76% de renta fija.
En este caso hemos de calcular la rentabilidad esperada de una cartera con las ponderaciones de un 24% de renta variable y un 76% de renta fija. Utilizaremos la siguiente fórmula:
\[E_p=w_1\cdot E_1+w_2\cdot E_2+...+w_n\cdot E_n\]
Donde,
\(E_p\), es la rentabilidad esperada de la cartera.
\(w_n\), es la ponderación (o proporción) del activo \(n\) dentro de la cartera.
\(E_n\), es rentabilidad esperada del activo \(n\).
\[E_p=0.24\cdot \:0.18+0.76\cdot \:0.06=0.0888\left(8,88\%\right)\]
En este caso la rentabilidad esperada de la cartera será del 8,88 %.
b) Calcular la volatilidad de la cartera del apartado anterior suponiendo un coeficiente de correlación entre la rentabilidad de ambos fondos del 0,45.
La volatilidad de una cartera puede expresarse en función del coeficiente de correlación entre los activos que la componen. El coeficiente de correlación, denotado como \(\rho\), indica el grado de relación lineal entre los rendimientos de dos activos. Cuando se calcula la volatilidad de una cartera formada por dos activos, en este caso renta variable y renta fija, es importante considerar la correlación entre estos activos.
La fórmula para calcular la volatilidad de una cartera (\(\sigma_p\)) en función del coeficiente de correlación (\(\rho\)), la volatilidad del activo 1 (\(\sigma_1\)) y la volatilidad del activo 2 (\(\sigma_2\)) es:
\[\sigma_p=\sqrt{w_{1}^2\cdot\sigma_1^2+w_2^2\cdot\sigma_2^2+2\cdot w_1\cdot w_2\cdot\rho_{1,2}\cdot\sigma_{1}\cdot\sigma_{2}}\] Donde,
\(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
\(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
\(\sigma_1\), es la volatilidad del título \(1\).
\(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
\(\sigma_2\), es la volatilidad del título \(2\).
\(\rho_{1,2}\), es el coeficiente de correlación entre los activos 1 y 2.
Cuando el coeficiente de correlación es positivo, indica una correlación positiva entre los activos, lo que significa que tienden a moverse en la misma dirección. Por otro lado, si el coeficiente de correlación es negativo, indica una correlación negativa, lo que implica que los activos tienden a moverse en direcciones opuestas. Cuando el coeficiente de correlación es cero, significa que no hay correlación entre los activos.
Definición de las ponderaciones, volatilidades y coeficiente de correlación
\[ \begin{align*} w_1 &= 0.24 \\ w_2 &= 0.76 \\ \sigma_1 &= 27 \quad \text{(volatilidad de renta variable)} \\ \sigma_2 &= 8 \quad \text{(volatilidad de renta fija)} \\ \rho_{1,2} &= 0.45 \quad \text{(coeficiente de correlación)} \end{align*} \]
Cálculo de la volatilidad de la cartera con coeficiente de correlación
\[ \begin{align*} \sigma_p= \sqrt{0.24^2 \cdot 27^2 + 0.76^2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 0.24 \cdot 0.76 \cdot 0.45 \cdot 27 \cdot 8} \end{align*} \]
\[ \sigma_p= 10.69651(\approx10,70\%) \]En este caso, con un coeficiente de correlación de 0.45, la volatilidad de la cartera es del 10,70 %, que tiene en cuenta la contribución de cada activo y la relación entre ellos representada por el coeficiente de correlación.
c) Si la rentabilidad de la cartera anterior sigue la Ley Normal, informa a tu cliente, con un 68% de probabilidad, en qué intervalo de rentabilidad se puede mover la cartera el próximo año.
Para el cálculo del Intervalo de Rentabilidad con Ley Normal con 68% de probabilidad, utilizamos la fórmula del intervalo de confianza de la distribución normal (en la asignatura consideramos los siguientes tres); y que, en términos algebraicos, serían los siguientes:
- Para una probabilidad del 68%: \[[E_p - \sigma_p, E_p + \sigma_p]\]
- Para una probabilidad del 95%: \[[E_p - 2\sigma_p, E_p + 2\sigma_p]\]
- Para una probabilidad del 99%: \[[E_p - 3\sigma_p, E_p + 3\sigma_p]\]
Estos intervalos representan la rentabilidad esperada de la cartera más o menos un múltiplo de la volatilidad de la cartera, dependiendo del nivel de probabilidad especificado.
Si ahora definimos nuestras variables, de la rentabilidad esperada y la volatilidad de la cartera, según los datos del problema:
\[E_p = 0.0888 (8,88\%); \ \sigma_p = 10.69651 (10,70\%)\]
Ya podemos calcular el intervalo de rentabilidad con 68% de probabilidad:
\[ \text{Intervalo} = [E_p - \sigma_p, E_p + \sigma_p] \]
Sustitución de los valores
\[ \text{Intervalo} = [0.0888\:-\:0.1069651,\: 0.0888\:+\:0.1069651] \]
\[ \text{Intervalo} = [-0.0181651, \: 0.1957651] \]
\[ \text{Intervalo} \approx [-1.817\%, \: 19.60\%] \]
Con una probabilidad del 68%, la rentabilidad de la cartera se espera que se encuentre en el intervalo de aproximadamente -1.817% a 19.60% el próximo año.
d) Suponiendo que la correlación entre la rentabilidad de ambos fondos fuera perfecta e inversa, ¿qué cartera construirías tu cliente si el objetivo de éste fuese obtener la máxima rentabilidad esperada?
Como nos dice que la correlación entre la rentabilidad de ambos fondos es perfecta e inversa (\(\rho = -1\)), podemos construir una cartera que maximice la rentabilidad esperada al invertir todo el capital en el activo con la mayor rentabilidad esperada (sin tener en cuenta, obviamente, la volatilidad).
Dado que la rentabilidad esperada del activo de renta variable es mayor que la del activo de renta fija (independientemente de que la volatilidad del activo de renta fija sea menor, que la de la renta variable), construiríamos la cartera invirtiendo el 100% del capital en el fondo de renta variable. Por lo tanto, en este caso, en el que la cartera únicamente maximizaría la rentabilidad esperada del cliente, se han de invertir los 50.000 euros en el fondo de renta variable, Resultando una cartera con rentabilidad esperada del 18% con volatilidad del 27%.
e) Suponiendo que la correlación entre la rentabilidad de ambos fondos fuera perfecta e inversa, ¿ qué cartera construirías a tu cliente si el objetivo del cliente fuese obtener el mínimo riesgo?
En este caso, ¿cuál sería la rentabilidad esperada y la volatilidad de dicha cartera?.
En este caso se trata de hallar la cartera de mínimo riesgo con una correlación perfectamente inversa, esto es, con el parámetro \(\rho = -1\), debemos calcular la volatilidad utilizamos la siguiente fórmula en valor absoluto (no tiene sentido un riesgo financiero negativo):
\[ \sigma_p = |w_1 \cdot \sigma_1 - w_2 \cdot \sigma_2| \]
Donde,
\(\sigma_p\): Volatilidad (riesgo) de la cartera.
\(w_1\): Ponderación del activo 1.
\(\sigma_1\): Volatilidad del activo 1.
\(w_2\): Ponderación del activo 2.
\(\sigma_2\): Volatilidad del activo 2.
De forma que si despejamos las variables \(w\), tememos como resultado las ponderaciones óptimas; es decir la cantidad de nuestro patrimonio deberíamos invertir en el activo uno (renta variable) y en el activo dos (renta fija) para que nuestra cartera minimice el riesgo:
\[w_1=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_1+ \sigma_2 }\]
\[w_2=\frac{\sigma_{1}}{\sigma_1+ \sigma_2 }\]
Donde,
\(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
\(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
\(\sigma_1\), es la varianza del título \(1\).
\(\sigma_2\), es la varianza del título \(2\).
Si recordamos, las volatilidades de los activos eran de,
\[ \sigma_{RV,1} = 27\% \] y
\[ \sigma_{RF,2} = 8\% \]
De forma qué el cálculo de las ponderaciones utilizando dichas volatilidades será:
\[ w_{RV,1}= \frac{8}{27 + 8} \approx \frac{8}{35} \approx 0.2286\% \]
\[ w_{RF,2} = \frac{27}{27 + 8} \approx \frac{27}{35} \approx 0.7714\% \]
Es importante recordar que la suma de las ponderaciones en porcentajes debe ser igual a 100, en términos porcentuales (\(w_{RV,1}+w_{RF,2}=100\%\)) ya que la teoría indica que el inversor invierte todo su dinero en la cartera óptima.
Ahora podemos calcular según estas ponderaciones, la rentabilidad esperada y la volatilidad de dicha cartera:
La rentabilidad esperada de la cartera se calcula como la suma ponderada de las rentabilidades esperadas de los activos, utilizando las ponderaciones óptimas determinadas anteriormente.
\[E_p=0.2286\cdot \:0.18+0.7714\cdot \:0.06=0.087432\left(\approx 8,75\%\right)\] La volatilidad de la cartera se calcula utilizando la fórmula de la volatilidad de la cartera, que tiene en cuenta las volatilidades de los activos y la correlación entre ellos, utilizando las ponderaciones óptimas determinadas anteriormente.
\[\sigma_p=\sqrt{0.2286^2\:\cdot \:0.27^2\:+\:0.7714^2\:\cdot \:0.08^2\:+\:2\:\cdot \:0.2286\:\cdot \:0.7714\:\cdot \left(-1\right)\:\cdot \:0.27\:\cdot \:0.08}\]
\[\sigma_p\approx 0\%\] Que podríamos haberlo calculado del mismo modo con la fórmula simplificada,
\[\sigma_p= 0.2286\cdot \:0.27\:-\:0.7714\:\cdot \:0.08\approx 0\%\]
Tip
Estamos frente a dos opciones de inversión: un fondo de renta variable y un fondo de renta fija. Sabemos que el fondo de renta variable tiene una mayor rentabilidad esperada del 18%, pero también una mayor volatilidad del 27%. Por otro lado, el fondo de renta fija tiene una rentabilidad esperada del 6% y una volatilidad del 8%.
Ahora, supongamos que nuestro objetivo es minimizar el riesgo mientras maximizamos la rentabilidad. Si solo invirtiéramos en el fondo de renta fija, tendríamos una rentabilidad del 6% con un riesgo del 8%. Sin embargo, si combinamos ambos fondos en una cartera, podemos obtener una rentabilidad esperada del 8.75% con un riesgo prácticamente nulo.
Este resultado se debe a que la correlación perfectamente inversa entre los fondos de renta variable y renta fija permite reducir el riesgo total de la cartera. Aunque la volatilidad de la cartera aumenta ligeramente en comparación con la volatilidad del fondo de renta fija individualmente, la rentabilidad esperada de la cartera supera significativamente la rentabilidad del fondo de renta fija.
Por lo tanto, combinar ambos activos en una cartera nos permite obtener una rentabilidad mayor a la de la renta fija individualmente con apenas un poco más de volatilidad, lo que resulta en una estrategia de inversión más atractiva para los inversores que buscan maximizar sus retornos sin asumir un riesgo excesivo.
Enunciado caso 2:
La acción ABC, caracterizada por un comportamiento que se ajusta a la Ley de Distribución Normal, exhibe una rentabilidad del 8% en el último año, con una volatilidad del 3% para el mismo período. Con el objetivo de evaluar posibles escenarios futuros, se presenta a continuación un cuadro de “probabilidades y horquillas de rentabilidad” que refleja las estimaciones basadas en la mencionada distribución estadística:
| Probabilidad | Horquilla de Rentabilidad |
|---|---|
| 68% | Mayor que ______% / Menor que ______% |
| 95% | Mayor que ______% / Menor que ______% |
| 99% | Mayor que ______% / Menor que ______% |
| 16% | Menor que ______% / Mayor que ______% |
| 2.50% | Menor que ______% / Mayor que ______% |
| 0.50% | Menor que ______% / Mayor que ______% |
En términos generales, al calcular la rentabilidad y el riesgo de un activo o cartera, usualmente asumimos que la distribución de las rentabilidades se aproxima a una distribución normal. Esta suposición nos brinda la ventaja de poder estimar los intervalos dentro de los cuales esperamos que se encuentren las distintas rentabilidades. Para lograrlo, simplemente sumamos o restamos a la rentabilidad media esperada una o varias desviaciones estándar, según el nivel de confianza con el que deseemos trabajar.
Si calculamos los intervalos de confianza,
| Probabilidad | Intervalo Central | ||
|---|---|---|---|
| 68% | \[5\% < E < 11\%\] | ||
| 95% | \[2\% < E < 14\%\] | ||
| 99% | \[-1\% < E < 17\%\] | ||
| Cola Negativa | Cola Positiva | ||
| 16% | \[E \leq 5\%\] | \[E \geq 11\%\] | |
| 5% | \[E \leq 2\%\] | \[E \geq 14\%\] | |
| 0.5% | \[E \leq -1\%\] | \[E \geq 17\%\] |
Lo representamos gráficamente
Enunciado caso 3:
De 2 fondos de inversión conocemos la siguiente información:
| Fondo | Rentabilidad (%) | Volatilidad esperada (%) |
|---|---|---|
| A | 4 | 4 |
| B | 13 | 9 |
Determina las carteras de máxima rentabilidad esperada y de mínimo riesgo en cada uno de los tres casos siguientes:
- Suponiendo que el coeficiente de correlación entre A y B fuese de +1.
Caso a) Correlación entre A y B de +1: Cartera de máximo rendimiento esperado: Invertimos todo en el fondo B, ya que tiene la mayor rentabilidad esperada.
\[ w_{B} = 1 \]
Rendimiento esperado \(E_{p}\) = 13% Volatilidad \(\sigma_{p}\) = 9%
Cartera de mínimo riesgo: Invertimos todo en el fondo A, ya que tiene la menor volatilidad.
\[ w_{A} = 1 \]
Rendimiento esperado \(E_{p}\) = 4% Volatilidad \(\sigma_{p}\) = 4%
- Suponiendo que el coeficiente de correlación entre A y B fuese de 0.
La cartera de mínimo riesgo (correlación nula \(\rho=0\)), al multiplicar por cero toda la parte que queda a la derecha del segundo sumando, la volatilidad se expresa como sigue:
\[\sigma_p=\sqrt{w_1^2\cdot\sigma_1^2+w_2^2\cdot\sigma_2^2}\]
Donde,
\(\sigma_p\), es la volatilidad (riesgo) de la cartera \(p\).
\(w_1\), es la ponderación (o proporción) del activo \(1\) dentro de la cartera \(p\).
\(\sigma_1^2\), es la varianza del título \(1\).
\(w_2\), es la ponderación (o proporción) del activo \(2\) dentro de la cartera \(p\).
\(\sigma_2^2\), es la varianza del título \(2\).
Cuando despejamos las ponderaciones tenemos que:
\[w_1=\frac{\sigma_{2}^2 }{\sigma_1^2+ \sigma_2^2 }\]
\[w_2=\frac{\sigma_{1}^2 }{\sigma_1^2+ \sigma_2^2 }\]
Si el coeficiente de correlación entre ambos títulos es igual a cero (\(\rho=0\)), los rendimientos de ambos títulos son independientes entre sí al no estar afectados por factores comunes. Así que cualquier comportamiento similar será debido al azar.
Por tanto, cuando dos títulos no están correlacionados entre sí no se debería invertir todo el presupuesto en el título de menor riesgo y menor rendimiento, la razón es que hay combinaciones de ambos títulos que proporcionan más rendimiento y el mismo riesgo.
Ahora, realizaremos los cálculos, sustituyendo los valores en las fórmulas, y obtendremos como resultado, aquellas ponderaciones que maximizan la rentabilidad y maximizan la rentabilidad:
\[w_1 = \frac{\sigma_{2}^2 }{\sigma_1^2+ \sigma_2^2} = \frac{9^{2\:}}{4^{2\:}+9^{2\:}}\: \approx 0.83505\]
\[w_2 = \frac{\sigma_{1}^2 }{\sigma_1^2+ \sigma_2^2} = \frac{9^{2\:}}{4^{2\:}+9^{2\:}}\:\:\approx 0.16494 \]
Luego, la volatilidad de la cartera \(\sigma_p\), con estas nuevas ponderaciones, será:
\[\sigma_p = \sqrt{0.83505^2\:\cdot \:0.04^{2\:}\:+\:0.16494^2\:\cdot 0.09^{2\:}}\]
\[\sigma_p =0.03655\left(3,65\%\right)\]
- Suponiendo que el coeficiente de correlación entre A y B fuese de -1.
Caso c) Correlación entre A y B de -1: La cartera de máximo rendimiento esperado: Invertimos todo en el fondo B, ya que tiene la mayor rentabilidad esperada.
Para calcular la cartera de mínimo riesgo, primero debemos determinar las ponderaciones óptimas y luego calcular la volatilidad con estas ponderaciones. Para ello, podemos usar la fórmula ya ajustada al coeficiente de correlación perfecto y negativo (\(\rho=-1\)):
\[\sigma_p = |w_1 \cdot \sigma_1 - w_2 \cdot \sigma_2|\]
de donde, al despejar las ponderaciones, tenemos que:
\[w_1 = \frac{\sigma_{2}}{\sigma_1 + \sigma_2} = \frac{9}{4 + 9} = \frac{9}{13} \approx 0.6923\]
\[w_2 = \frac{\sigma_{1}}{\sigma_1 + \sigma_2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13} \approx 0.3077\]
Ahora, calculamos la volatilidad de la cartera utilizando la fórmula anterior (en valor absoluto):
\[\sigma_p = |w_1 \cdot \sigma_1 - w_2 \cdot \sigma_2|\]
donde, sustituyendo los valores obtenidos de las ponderaciones y los datos de la volatilidad, tenemos un resultado de:
\[\sigma_p = |0.6923\:\cdot \:0.04\:-\:0.3077\:\cdot \:0.09|\approx 0\]
Por lo tanto, como cabía esperar, la volatilidad de la cartera (\(\sigma_p\)) con las ponderaciones calculadas es aproximadamente de cero (0.000001).
Enunciado caso 4:
En los últimos 36 meses se ha obtenido la siguiente información sobre Telefónica y el Eurostoxx50:
| Fondo | Rentabilidad | Volatilidad | Coeficiente de Correlación |
|---|---|---|---|
| Telefónica | 4,25% | 6,50% | 0,75 |
| Ibex 35 | 2,50% | 2,85% |
Para el periodo considerado, calcula:
- El coeficiente BETA.
Comenzamos calculando el coeficiente beta utilizando la fórmula que incluye el coeficiente de correlación:
\[\beta_{i,m}=\frac{\sigma_{i,m}}{\sigma_m^2}=\frac{\sigma_i}{\sigma_m}\cdot\rho_{i,m}\] Dado que tenemos los valores de volatilidad (\(\sigma\)) y coeficiente de correlación (\(\rho\)) proporcionados en la tabla, podemos calcular \(\beta\) de la siguiente manera:
\[\beta_{i,m}=\frac{\sigma_i}{\sigma_m}\cdot\rho_{i,m}=\frac{0.065}{0.0285}\cdot 0.75\]
\[\beta_{i,m}=1.71052\dots \:\]
- El coeficiente ALFA.
El Alfa de un activo es el término independiente de la recta de regresión, y se interpreta como la rentabilidad que, por término medio, obtiene el activo con independencia del índice y que responde a las características específicas del activo.
La ecuación proporcionada es:
\[\alpha_i = R_i - \beta_i \cdot R_m\]
Donde:
- \(\alpha_i\) es el coeficiente alfa del activo.
- \(R_i\) es la rentabilidad del activo.
- \(\beta_i\) es el coeficiente beta del activo.
- \(R_m\) es la rentabilidad del índice o benchmark.
En esta ecuación, \(\alpha_i\) representa la componente fija de la rentabilidad del activo, que indica la rentabilidad esperada del activo independientemente de la rentabilidad del índice.
\(R_i\) es la rentabilidad del activo, que puede ser el rendimiento de una acción, bono u otro instrumento financiero.
\(\beta_i\) es el coeficiente beta del activo, que indica la sensibilidad del activo a los movimientos del índice.
\(R_m\) es la rentabilidad del índice o benchmark, que se utiliza como medida de referencia para comparar el rendimiento del activo.
Calculamos el alfa de Telefónica utilizando la siguiente fórmula
\[\alpha_i=R_i-\beta_i\cdot R_m\]
\[\alpha_i=0.0425-0.75\cdot 0.025=0.02375(\approx 2,375)\]
\[\alpha_i=0.02375(\approx 2,375)\]
- Clasifica el título como agresivo, defensivo o neutral.
El coeficiente beta del activo i representa la variación que, por término medio, experimenta la rentabilidad del activo i respecto a una variación unitaria en la rentabilidad del índice de referencia (o mercado).
| Clasificación del activo | Valor de beta | Interpretación |
|---|---|---|
| DEFENSIVO | \(-1<\beta<1\) | Son activos poco arriesgados, ya que en proporción varían menos que el índice. |
| AGRESIVO | \(\beta>1\ o \ \beta < -1\) | Son activos poco arriesgados, ya que en proporción varían menos que el índice. |
| NEUTRO | \(\beta=1\ o \ \beta=-1\) | Son activos poco arriesgados, ya que en proporción varían menos que el índice. |
Utilizamos la clasificación proporcionada en la tabla de interpretación de betas: como \(\beta > 1\), clasificamos a Telefónica como un activo agresivo.
- Construye su línea característica (LCT).
\[R_i=\alpha _i+\beta _i\cdot R_m+U_p\]
Donde:
\(R_i\) es la rentabilidad del activo i.
\(\alpha _i\) es la componente fija de la rentabilidad ddel activo i.
\(R_m\) es la rentabilidad asociada al mercado (índice o benchmark).
\(\beta _p\) es la beta del activo i.
\(U_p\) es la componente aleatoria de la rentabilidad del activo i.
La línea característica es una herramienta fundamental en el análisis financiero que nos ayuda a comprender la relación entre la rentabilidad de un activo y la rentabilidad del mercado. Esta relación es crucial para los inversores, ya que les permite evaluar el desempeño de un activo en relación con el mercado en su conjunto.
La ecuación de la Línea Característica (LCT) se deriva de la ecuación de la regresión lineal, que es una técnica estadística utilizada para modelar la relación entre dos variables. En este caso, la LCT modela la relación entre la rentabilidad del activo (denotada como \(R_p\)) y la rentabilidad del mercado (denotada como \(R_m\)).
En la ecuación proporcionada:
\[R_p=0.02375+1.71052\cdot R_m+0\]
El término \(0.02375\) representa el coeficiente alfa (\(\alpha\)), que es la componente fija de la rentabilidad de la cartera. Este valor indica la rentabilidad esperada del activo independientemente de la rentabilidad del mercado.
El término \(1.71052 \cdot R_m\) representa el coeficiente beta (\(\beta\)) multiplicado por la rentabilidad del mercado. El coeficiente beta nos indica la sensibilidad del activo a los movimientos del mercado. Un coeficiente beta mayor que 1 indica que el activo tiende a ser más volátil que el mercado, mientras que un coeficiente beta menor que 1 indica que el activo tiende a ser menos volátil que el mercado.
Finalmente, el término \(0\) representa la componente aleatoria de la rentabilidad del activo (\(U_p\)). En este caso, asumimos que esta componente es cero aproximadamente, lo que significa que no hay un componente aleatorio significativo en la rentabilidad del activo.
En resumen, la ecuación de la LCT nos proporciona una forma de entender cómo la rentabilidad de un activo está influenciada por la rentabilidad del mercado, lo que puede ser de gran ayuda para los inversores al tomar decisiones de inversión.
Enunciado caso 5:
Un gestor desea construir una cartera de inversión con dos activos A y B que cotizan en el mercado europeo. Consultando el comportamiento lineal que las rentabilidades de dichos activos han tenido respecto al EuroStoxx50 durante los últimos dos años, se ha obtenido la siguiente información:
| Activo | ALFA | BETA |
|---|---|---|
| A | 3,16% | 0,85 |
| B | 2,55% | 1,26 |
Los expertos en el mercado europeo informan que para el próximo año se espera que el EuroStoxx 50 se revalorice un 18% con una volatilidad del 25%.
Con toda la información anterior, se pide:
a) Calcular la rentabilidad esperada del activo A para el próximo año.
Calculamos la rentabilidad esperada del activo A para el próximo año a partir del alfa.
\[\alpha_A=E_A-\beta_A\cdot E_m\]
Dado que conocemos el alfa de A (3,16%), la beta de A (0,85) y la rentabilidad esperada del EuroStoxx50 para el próximo año (18%), podemos despejar la rentabilidad esperada del activo A para el próximo año.
\[ 0.0316=E_A-0.85\cdot 0.18 \]
Resolvemos la ecuación para encontrar la rentabilidad esperada del activo A.
\[E_A = 0.0316 + 0.85 \cdot 0.18\]
\[E_A = 0.0316 + 0.153\]
\[E_A = 0.1846 \left(18,46\%\right)\]
Por lo tanto, la rentabilidad esperada del activo A para el próximo año es del 18,46%.
b) Clasificar los activos A y B de acuerdo con su beta.
El coeficiente beta del activo i representa la variación que, por término medio, experimenta la rentabilidad del activo i respecto a una variación unitaria en la rentabilidad del índice de referencia (o mercado).
| Clasificación del activo | Valor de beta | Interpretación |
|---|---|---|
| DEFENSIVO | \(-1<\beta<1\) | Son activos poco arriesgados, ya que en proporción varían menos que el índice. |
| AGRESIVO | \(\beta>1\ o \ \beta < -1\) | Son activos poco arriesgados, ya que en proporción varían menos que el índice. |
| NEUTRO | \(\beta=1\ o \ \beta=-1\) | Son activos poco arriesgados, ya que en proporción varían menos que el índice. |
En nuestro caso
| Activo | BETA | Clasificación |
|---|---|---|
| A | 0,85 | DEFENSIVO |
| B | 1,26 | AGRESIVO |
Por lo tanto, el activo A se clasifica como DEFENSIVO y el activo B se clasifica como AGRESIVO.
c) Tras analizar el grado de aversión al riesgo de su cliente, el gestor decide construirle una cartera formada por el 36% del activo A y un 64% del activo B. Sobre esta cartera, el cliente desea saber:
c.1) ¿Cuál sería el coeficiente alfa de la cartera y su significado?
Para calcular el coeficiente alfa de la cartera, multiplicamos el peso de cada activo en la cartera por su respectivo coeficiente alfa y luego sumamos los resultados.
\[\alpha_{\text{cartera}} = w_A \cdot \alpha_A + w_B \cdot \alpha_B\]
Donde:
\(w_A\) es el peso del activo A en la cartera.
\(w_B\) es el peso del activo B en la cartera.
\(\alpha_A\) es el coeficiente alfa del activo A.
\(\alpha_B\) es el coeficiente alfa del activo B.
En este caso, el activo A representa el 36% de la cartera (0.36) y tiene un coeficiente alfa de 3.16%, mientras que el activo B representa el 64% de la cartera (0.64) y tiene un coeficiente alfa de 2.55%.
\[\alpha_{\text{cartera}} =0.36\cdot 3.16+0.64\cdot 2.55=2.7696\%\]Al multiplicar los pesos por los coeficientes alfa y sumar los resultados, obtenemos un coeficiente alfa de la cartera de 2.7696%. En este caso, el coeficiente alfa de la cartera se encuentra en 2.7696%, lo que sugiere el exceso de rendimiento que se espera obtener más allá de lo que puede explicar el rendimiento del mercado.
c.2) ¿Cuál sería el coeficiente beta de la cartera y su significado?
Para calcular el coeficiente beta de la cartera, multiplicamos el peso de cada activo en la cartera por su respectivo coeficiente beta y luego sumamos los resultados.
\[\beta_{\text{cartera}} = w_A \cdot \beta_A + w_B \cdot \beta_B\]
Donde:
\(w_A\) es el peso del activo A en la cartera.
\(w_B\) es el peso del activo B en la cartera.
\(\beta_A\) es el coeficiente beta del activo A.
\(\beta_B\) es el coeficiente beta del activo B.
En este caso, el activo A representa el 36% de la cartera (0.36) y tiene un coeficiente beta de 0.85, mientras que el activo B representa el 64% de la cartera (0.64) y tiene un coeficiente beta de 1.26.
\[\beta_{\text{cartera}} =0.36\cdot 0.85\:+0.64\cdot 1.26=1.1124\]
Al multiplicar los pesos por los coeficientes beta y sumar los resultados, obtenemos un coeficiente beta de la cartera de 1.1124. Esto indica la sensibilidad de la cartera a los movimientos del mercado en comparación con un índice de referencia.
d) Sabiendo que para el próximo año la rentabilidad del activo sin riesgo es del 2,50%, indicar según el modelo CAPM si el activo A se encuentra infravalorado o sobrevalorado.
Según el modelo CAPM, en el ámbito financiero, la fórmula para calcular el rendimiento esperado de un activo en términos de la cartera de mercado se expresa como: \[E_A = R_f + (E_m - R_f) \cdot \beta_A\]
Donde:
\(E_A\) es el rendimiento esperado del activo.
\(R_f\) es la tasa de rendimiento del activo sin riesgo.
\(\beta_A\) es el coeficiente beta del activo.
\(E_m\) es el rendimiento esperado del mercado.
Esta fórmula nos permite estimar el rendimiento esperado de un activo en función del rendimiento esperado del mercado y la sensibilidad del activo a los movimientos del mercado, representada por el coeficiente beta.
Si calculamos la CML para el activo A:
\[E_A =0.0250+\:\left(0.18\:-\:0.0250\right)\cdot 0.85\] \[E_A =0.15675\left(\approx 15,675\%\right)\] Para el activo A, el rendimiento esperado calculado, según el modelo CAPM, es del 15.675%. La rentabilidad real del activo A es del 18.46% (calculada en el apartado a).
Si el rendimiento real de un activo supera las estimaciones del modelo CAPM, se considera que el activo está generando un rendimiento superior al esperado dadas las condiciones del mercado y su nivel de riesgo sistemático. Cuando un activo está infravalorado según el modelo CAPM, significa que su precio actual es inferior a lo que debería ser según las predicciones del modelo. Esto sugiere que el activo tiene un potencial de crecimiento en su precio para alcanzar su verdadero valor. En este escenario, se recomienda “comprar” el activo, ya que se espera que su precio aumente en el futuro para reflejar su rendimiento superior al esperado por el modelo CAPM.
Tip
En resumen, si el rendimiento real de un título supera las estimaciones del modelo CAPM, se considera que el título está infravalorado y se recomienda “comprar” para aprovechar su potencial de crecimiento en el precio.