Introducción a la probabilidad

Bioestadística básica/Posgrados CUCS

Pérez-Guerrero Edsaúl Emilio

Instituto de Investigación en Ciencias Biomédicas

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Probabilidad. ¿Para qué?

La probabilidad es el fundamento para la inferencia estadística.
La estadística frecuentista

Las teorías de probabilidad

Pueden existir diversos enfoques o teorías de la probabilidad

Probabilidad objetiva
- a priori se estima antes del proceso
- a posteriori se estima después del proceso
Probabilidad subjetiva
- Depende de la confianza sobre un proceso

Probabilidad objetiva

También conocida como clásica
Derivada de problemas relacionados con azar
Por ejemplo:
- Si un dado es lanzado una vez, la probabilidad de que caiga 2 es 1/6
- No es necesario lanzar el dado para conocer la probablidad de obtener un valor
- Cada uno de los elementos tiene la misma probabilidad de ser seleccionado

Probabilidad a priori

Si un evento puede ocurrir de \(N\) formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si \(m\) de estos evento poseen una característica \(E\) la probabilidad de ocurrencia es igual a \(m/M\)

La probabilidad de \(E\) se expresa como:

\[P(E)=\frac{m}{N}\]

Probabilidad a posteriori

Establece que la frecuencia relativa depende de a repetibilidad de algunos procesos, de la capacidad de contar el número de repeticiones y del número de veces que ocurre el evento de interés.

Si algún proceso es repetido un gran número de veces, \(n\) y si algún evento resultante, con la característica \(E\), ocurre \(m\) veces, le frecuencia relativa de la ocurrencias de \(E\), \(m/n\) es aproximada a la probabilidad de \(E\).

\[P(E)=\frac{m}{n}\]

Probabilidad subjetiva

Se basa en la confianza que un individuo tiene en la certeza de una proposición determinada. No depende de ningún proceso.

Por ejemplo:

La probabilidad de pasar bioestadística será puede cambiar al inicio del semestre y después del primer parcial. El proceso no ha concluido

Propideades de la probabilidad

Propiedades de la probabilidad

1. La probabilidad de un evento es un número positivo

Dado algún experimento con \(n\) resultados mutuamente excluyentes \(E_1, E_2,...E_n\), la probabilidad de cualquier evento \(E_i\) es un número no negativo:

\[P(E)≥0\]

2. La suma de las probabilidad de todos los resultados mutuamente excluyente es igual a 1

\[P(E_1)+...+P(E_n)=1\]

Propiedades de la probabilidad

3. La probabilidad de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales

\[P(E_i \ o\ E_j)= P(E_i)+P(E_j)\]

Propiedades de la probabilidad

4. Los resultados posibles se pueden agrupar en un subconjunto. Probabilidad condicional.

La probabilidad de \(A\) dado \(B\) es igual a la probabilidad de la intersección de \(A\) y \(B\), dividida por la probabilidad de \(B\).

\[P(A|B)=P(A ∩ B)/P(B)\]

Describe la probabilidad de que el evento \(A\) ocurra, dado que ya ocurrió el evento \(B\).

Propiedades de la probabilidad

4. Los resultados posibles se pueden agrupar en un subconjunto. Probabilidad condicional.

Suponga que está interesado en saber cuál es la probabilidad de que una persona tenga una enfermedad cardíaca \((A)\) dado que es fumadora \((B)\).

\(P(A)\) sería la probabilidad de que una persona cualquiera tenga enfermedad cardíaca.
\(P(B)\) sería la probabilidad de que una persona sea fumadora.
\(P(A ∩ B)\) sería la probabilidad de que una persona sea fumadora y tenga enfermedad cardíaca al mismo tiempo.
\(P(A|B)\) sería la probabilidad de que una persona tenga una enfermedad cardíaca dado que ya sabemos que es fumadora

Propiedades de la probabilidad

5. El resto de las probabilidades en las que denominador se obtiene del total del conjunto se conoce cómo probabilidad marginal

La probabilidad marginal es una medida estadística que indica la probabilidad de que ocurra un subconjunto del conjunto total
La probabilidad marginal es la probabilidad de que ocurra un evento, sin tener en cuenta ninguna otra información o condición adicional
Por ejemplo, si en una población de 1,000 personas, 300 (A) tienen hipertensión (sin importar si tienen diabetes o no), la probabilidad marginal de hipertensión es:

\[P(A)= \frac{300}{1000}=0.30\]

Propiedades de la probabilidad

6. Si algún evento posee dos características al mismo tiempo, tiene una probabilidad conjunta. La probabilidad que una persona tenga la característica \(M\) y la característica \(C\) es \(P(M \cap C)\).

El número de individuos que satisfacen la condición \(M\) y \(C\) al mismo tiempo
En la probabilidad conjunta necesitamos conocer el número de individuos que satisfacen ambas condiciones y el tamaño total del grupo

Propiedades de la probabilidad

Supongamos que estamos investigando una población de 1,000 personas y queremos calcular la probabilidad conjunta de dos eventos:

\(M\): Que una persona tenga hipertensión.
\(C\): Que una persona sea diabética. Queremos calcular la probabilidad conjunta de que una persona tenga hipertensión y diabetes al mismo tiempo, es decir: \(P(M \cap C)\),

\[ P(M \cap C)=\frac{Número \ de \ personas \ con \ HTA \ y \ DM }{Total \ de \ personas} \]

Propiedades de la probabilidad

Supongamos que tenemos un grupo de 1000 personas. De estas personas:

300 son mayores de 30 años \((M)\).
200 tienen cabello rubio \((C)\).
50 personas son mayores de 30 años y tienen cabello rubio al mismo tiempo \((M \cap C)\)

Propiedades de la probabilidad

\[P(M \cap C)=\frac{personas \ con \ ambas \ caracteristicas}{total \ de \ personas}\]

\[P(M \cap C)=\frac{50}{1000}=0.05=5\%% \]

Propiedades de la probabilidad

7. La probabilidad se puede calcular a partir de otras probabilidades.

Queremos calcular la probabilidad de que un paciente tenga DM2 y que también tenga hipertensión. Para estimar esta probabilidad podemos utilizar la siguiente información:

La probabilidad de que tenga DM2 \(P(M)\)
La probabilidad de que un pacientes tenga DM2 dado que tiene hipertensión \(P(A|M)\)

Por lo tanto la probabilidad de que un paciente tenga DM2 y que tenga hipertensión es:

\[P(M \cap A)= P (M) \times P(A|M) \]

Propiedades de la probabilidad

8. La probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades. \(P(A \cup B)\)

Si \(A\) es la probabilidad de tener un número par después de lanzar un dado y \(B\) es la probabilidad de tener un número impar, entonces:

\[P(A ∩ B)=P (A) + (B)\] \[P(A ∩ B)=0.5 + 0.5=1\]

Cálculos de probabilidades

Ejemplo 1

Se muestran los datos de las frecuencias de una variante del polimorfismo CYP2C19 que confiere cierto riesgo para la no respuesta (Falla) de un fármaco en hombres y mujeres del occidente del país.

Polimorfismo	Hombres	Mujeres	Total
GG	32	7	39
GC	18	20	38
CC	25	9	34
Total	75	36	111

Ejemplo 1

Datos de un polimorfismo del CYP2C19. **Tomen foto**
Polimorfismo	Hombres	Mujeres	Total
GG	32	7	39
GC	18	20	38
CC	25	9	34
Total	75	36	111

Ejemplo 1. Probilidad marginal

Suponga que los 111 individuos es el total de población de interés. Cada uno de los eventos es mutuamente excluyente y todos tienen la misma posibilidad de presentarse

¿Cuál es la probabilidad de ser hombre en la población?

\[ P(Hombre)=\frac{Número \ de \ hombres}{Total \ de \ la \ población} \]

\[ P(Hombre)=\frac{75}{111}=0.676 \]

Ejemplo 1. Probabilidad condicional

Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entre los 111 y se encuentra que es un hombre. ¿Cual es la probabilidad de que este individuo tenga la variante CC?

Formalmente se escribe: ¿Cual es la probabilidad de que un individuo tenga la variante CC dado que es hombre?

Ejemplo 1. Probabilidad condicional

Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entre los 111 y se encuentra que es un hombre. ¿Cual es la probabilidad de que este individuo tenga la variante CC?

Formalmente se escribe: ¿Cual es la probabilidad de que un individuo tenga la variante CC dado que es hombre?

\[ P(CC|Hombre)=\frac{Hombres \ con \ la \ variante \ CC}{Total \ de \ hombres} \]

Ejemplo 1. Probabilidad condicional

¿Cual es la probabilidad de que un individuo tenga la variante CC dado que es hombre? \(P(CC|Hombre)\)

Ejemplo 1. Probabilidad condicional

¿Cual es la probabilidad de que un individuo tenga la variante CC dado que es hombre? \(P(CC|Hombre)\)

\[ P(CC|Hombre)=\frac{Hombres \ con \ la \ variante \ CC}{Total \ de \ hombres} \]

\[ P(CC|Hombre)=\frac{25}{75}=0.33 \]

Ejemplo 1. Probabilidad conjunta

¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada aletoriamente de entre los 111 individuos tenga el genotipo CC y sea hombre? \(P(Hombre\cap CC)\) el símbolo \(\cap\) significa intersección.

Ejemplo 1. Probabilidad conjunta

\[P(Hombre\cap CC)=\frac{Número \ de \ hombres \ con \ CC }{Total \ de \ la \ población}\]

\[P(Hombre\cap CC)=\frac{25}{111}=0.23\]

Ejemplo 1. Regla de la adición

¿Cuál es la probabilidad de una persona sea hombre o mujer y que tenga la variable CC?

Ejemplo 1. Regla de la adición

¿Cuál es la probabilidad de una persona sea hombre o mujer y que tenga la variable CC?

\[Probabilidad \ conjunta = P(H\cap CC)+P(M\cap CC)\]

\[ Probabilida\ conjunta=\frac{25}{11}+\frac{9}{36}=0.69\]

Teórema de Bayes

Es la base para la estadística Bayesiana

\[P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_1)}{P(B)}\]

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai dado que ocurre B.

Estadística Bayesiana, un ejemplo ridículamente sencillo

¿Cuál es la probailidad de alguien con bata sea un médico?

¿Cuál es la probabilidad de alguien con bata sea un médico?

Aplicaciones de la estadística bayesiana

¿La batalla final?