Suponha que 2% dos adultos que tomam um determinado medicamento apresentam efeitos colaterais negativos. Considere um grupo de 30 pacientes adultos. Qual a probabilidade de mais de 3 apresentarem efeitos colaterais negativos?

Qual seria a quantidade esperada de pacientes com efeitos colaterais negativos?

• Suponha que se tenha uma quantidade grande de ensaios independentes de Bernouli.

• Denotando a média por \(np = \lambda\) então \(p=\frac{\lambda}{n}\), tendo a ser pequeno.

• Neste caso, pode-se pensar numa aproximação para a distribuição Binomial.

\(\begin{array}{cll} P(Y=y)&=&lim_{n\rightarrow \infty} \binom{n}{y} p^y(1-p)^{n-y}\\ &=& lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{(n-y)!y!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^y\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-y}\\ &=& lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{(n-y)!y!} \frac{\lambda^y}{n^y}\frac{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}{\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{y}}\\ &=& lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n}.\frac{(n-1)}{n}.\frac{(n-2)}{n}\cdots \frac{n-(y-1)}{n} .\frac{\left(1+\frac{(-\lambda)}{n}\right)^{n}}{\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{y}}.\frac{\lambda^y}{y!}\\ &=& \frac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{y!}. \\ \end{array}\)

Assim tem-se uma f.p. dada por:

\(P(Y=y)=\frac{e^{\lambda}\lambda^y}{y!}\)

que é a função de probabiliade do modelo de Poisson.

• O limite anterior é válido pois, se \(n\) cresce, a quantidade \(\left(1+\frac{(-\lambda)}{n}\right)^{n}\) se aproxima do número de Euler \(e^{-\lambda}\).

• A prova deste resultado pode ser realizada pela expansão binomial e a série de Taylor.

• Os demais termos que dependem de \(n\) convergem para 1 quando \(n\) tende a infinito.

• O parâmetro \(\lambda\) deste expressão representa a taxa de ocorrência de sucessos de Bernoulli em um espaço qualquer (tempo, comprimento, área, volume etc).

Uma v.a. \(Y\) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda >0\) se sua f.p. é dada por:

\(\begin{align*} p(y)&= \left\{ \begin{array}{lllllll} \frac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{y!},~~ & \text{se}~~ y=0,1,2,\cdots \\ 0, ~~ &\text{se}~~ y\neq 0,1,2,\cdots. \end{array} \right.\\ \end{align*}\)

Temos ainda que:

\(E(Y) = Var(Y) = \lambda\).

Notação: \(Y \sim Poisson(\lambda)\).

• Note que, diferentemente da distribuição binomial, a v.a. de Poisson assume valores em um conjunto infinito enumerável,

• ou seja \(Y \in \left\{ 0,1,2, \cdots \right\}\).

Suponha \(n\) objetos extraídos de forma aleatória de uma população de tamanho \(N\), em que \(r\) objetos são do tipo 1 e \(N-r\) objetos são do tipo 2.

• Se as retiradas são feitas com reposição, a v.a.

\(Y\): Nº de objetos do tipo 1 na amostra”

• segue um modelo binomial, ou seja:

\[Y\sim\mbox{ Binomial}(n,p=r/N).\]

• Se as retiradas são feitas sem reposição,

\(Y\) tem distribuição Geométrica com parâmetro \((N,n,r)\), cuja f.p. é dada a seguir.

\(\begin{align*}\label{} p(y)&= \left\{ \begin{array}{lllllll} \frac{\binom{r}{y} \binom{N-r}{n-y}}{\binom{N}{n}} ,~~ & \text{se}~~ y=1,2,\cdots,k,\\ 0, ~~ &\text{se}~~ y\neq 1,2,\cdots,k, \end{array} \right.\\ \end{align*}\)

\(k=\min\{r,n\}\), em que:

• N é o total de elementos na população;
• n é o tamanho da amostras extraída de forma aleatória sem reposição;
• r é o número de elementos na população que são do tipo 1;
• Y é a v.a. que conta o número de elementos do tipo 1 na amostra.

Notação: \(Y\sim\mbox{Hipergeométrica}(N,n,r)\).

Em problemas de controle de qualidade, suponha que num lote de \(N\) = 100 peças, \(r\) = 15 sejam defeituosas.

-Escolhendo-se \(n\) = 10 peças, sem reposição, responda.

1. Qual a probabilidade de não se obter peças defeituosas?
2. Qual a probabilidade de se obter no máximo uma com defeito?
3. Qual é a esperança da quantidade de peças com defeito?
4. E se as peças forem retiradas com reposição, como ficam essas probabilidades?