• Considere que um psicultor deseja estimar a média do peso de peixes existentes em um criadouro em um determinado tempo.

• Suponha que todos os peixes têm a mesma idade e são da mesma espécie.

• Considere que foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10.

• Seja \(X=\)“peso dos peixes”

• É razoavel admitir \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

• vamos supor \(\sigma^2\) desconhecida, usaremos \(S^2\) para estimá-la.

Suponha que a distribuição para os pesos, que iremos supor normal, seja a seguinte.

Assim, desta população é selecionada a amostra aleatória de tamanho \(n=10\).

• Então, obtemos o seguinte IC(95%).

• As vezes, o IC obtido não é pequeno o suficiente para ser útil na tomada de decisão.

• Assim, existe o interesse de se controlar o tamanho do intervalo obtido.

• Note que, em torno da estimativa da média é obtido um intervalo simétrico

\[\overline{x} \pm E_{max}\]

A qual forneceu média e desvio-padrão amostral e IC, como segue.

Assim, queremos:

\[|\mu-\overline{X}|<E_{max}.\] Para isso, fixamos: \[E_{max}=T_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ n=T_{\alpha/2}^2\frac{S^2}{E_{max}^2}.\] Como estimativas de \(\sigma\) depende de uma amostra observada, uma amostra piloto deve ser utilizada para obter esta estimativa, caso a variância da população seja desconhecida.

Seja o \(E_{max}\) para o primeiro intervalo:

\[E_{max}=\frac{0,674-0,446}{2}=0,114\] Que pela metade fica

\[E^*_{max}=\frac{0,137}{2}=0,057.\]

Logo:

\[n = 84,614\]

Logo, precisamos de uma amostra deste tamanho para conseguir reduzir o intervalo pela metade.

Assim, desta população é selecionada a amostra aleatória com o tamanho requerido.

• Então, obtemos o seguinte IC(95%).