Motivação

  • Um sistema de comunicação formado por 4 antenas aparentemente idênticas devem ser alinhadas em sequência.

  • O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito.

  • Se exatamente 2 das 4 antenas apresentarem defeito, de quantas maneiras é possível um sistema ser funcional?

  • Qual a probabilidade de o sistema continuar funcionando, mesmo com 2 antenas apresentando defeito?

  • Para o caso de n antenas, das quais m são defeituosas, qual é a probabilidade do sistema continuar funcionando?

Princípio Básico (ou fundamental) da Contagem

Princípio Básico da Contagem: dois experimentos independêntes

  • Seja \(E_1\) um experimento com \(m_1\) possibilidades

  • e \(E_2\) outro experimento com \(m_2\) possibilidades para cada uma das \(m_1\) iniciais.

  • \(E_1\) e \(E_2\) independentes.

  • Então, os dois experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\) possibilidades.

Princípio Básico da Contagem: dois experimentos independêntes

  • Seja \(E_1\) um experimento com \(m_1\) possibilidades

  • e \(E_2\) outro experimento com \(m_2\) possibilidades para cada uma das \(m_1\) iniciais.

  • Então, os dois experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\) possibilidades.

  • Um estudante pode escolher entre 10 disciplinas optativa.

  • Cada optativa tem opção de 2 horários diferentes, para ser ministrada.

  • Quantas opções diferentes de horários o estutante tem, se cada disciplina será ministrada em horários diferentes?

Princípio Básico da Contagem: dois experimentos independêntes

  • Seja \(E_1\) um experimento com \(m_1\) possibilidades

  • e \(E_2\) outro experimento com \(m_2\) possibilidades para cada uma das \(m_1\) iniciais.

  • Então, os dois experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\) possibilidades.

  • Um estudante pode escolher entre 5 disciplinas optativa.

  • Cada optativa tem opção de 2 horários diferentes, para ser ministrada.

  • Quantas opções diferentes de horários o estutante tem, se cada disciplina será ministrada em horários diferentes?

Resposta: \(5 \times 2 = 10\) combinações diferentes.

Um número finito de experimentos independêntes

  • Sejam \(E_1, \cdots, E_n\) um experimentos com \(m_1, \cdots, m_n\) possibilidades, respectivamente.

  • Então, os experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\times m_3\times \cdots m_n\) possibilidades.

Um número finito de experimentos independêntes

  • Sejam \(E_1, \cdots, E_n\) um experimentos com \(m_1, \cdots, m_n\) possibilidades, respectivamente.

  • Então, os experimentos em conjunto possuem \(m_1 \times m_2\times m_3\times \cdots m_n\) possibilidades.

  • Supondo que uma mensagem pode passar por um de 3 servidores na primeira etapa, em seguida é encaminhada para um entre 2 servidores na segunda etapa, para então passar por 1 entre 10 na última etapa da comunicação.

  • Quantos caminhos diferentes a mensagem pode percorrer?
Resposta: \(3 \times 2 \times 10 = 60\)

Algumas Situações Especiais

Permutação

Dados n elementos distintos em um conjunto, de quantos modos podemos ordena-los?

  • Sejam \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), três objetos distintos.

  • De quantas maneiras podemos ornena-los?

  • Vamos pensar em três experimentos, um para cada seleção de um objeto para a ordenação.

  • Então, podemos aplicar o pricípio básico da contagem.

Permutação

Dados n elementos distintos em um conjunto, de quantos modos podemos ordena-los?

  • Sejam \(P_1\), \(P_2\) e \(P_3\), três objetos distintos.

  • De quantas maneiras podemos ordená-los esses objetos?

  • Vamos pensar em três experimentos, um para cada seleção de um objeto para a ordenação.

  • Então, podemos aplicar o pricípio básico da contagem.

Resposta: \(3 \times 2 \times 1 = 6\) maneiras.

Permutação

De um modo geral, o número de permutações (ou ordenações) de n objetos distintos é dado pela função:

\[ P(n)=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1=n!\]

Ou seja, n fatorial.


Observação: mais exemplos nas Notas de Aulas, página 49.

Permutação com Repetição

  • Sejam \(P_1\), \(P_2\),\(P_2\),\(P_2\) e \(P_3\), cinco objetos, sendo um considerado três vezes (três repetições do mesmo).

  • De quantas maneiras podemos ornena-los?

  • Note que a permutação de \(P_2\) com ele mesmo, não deve ser levada em conta.

Permutação com Repetição

  • Sejam \(P_1\), \(P_2\),\(P_2\),\(P_2\) e \(P_3\), cinco objetos, sendo um considerado três vezes (três repetições do mesmo).

  • De quantas maneiras podemos ornena-los?

  • Note que a permutação de \(P_2\) com ele mesmo, não deve ser levada em conta.

Resposta: \(\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4= 20\) maneiras.

Permutação com Repetição

  • Sejam \(P_1\), \(P_2\),\(P_2\),\(P_2\) e \(P_3\), cinco objetos, sendo um considerado três vezes (três repetições do mesmo).

  • De quantas maneiras podemos ornena-los?

  • Note que a permutação de \(P_2\) com ele mesmo, não deve ser levada em conta.

Resposta: \(\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4= 20\) maneiras.

 

De um modo geral, temos: \(P(n)=\frac{n!}{n_1! n_2! ...n_r!}\)

em que \(n_j\) é o número de repetição do j-ésimo objeto

Arranjo

Arranjo Simples

  • Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.

  • Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).

Arranjo Simples

  • Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.

  • Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).

Exemplo: Maria tem 5 carros, mas apenas 3 garagens. De quantas maneiras distintas Maria pode guardar 3 de seus 5 carros nessas garagens?

Arranjo Simples

  • Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.

  • Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).

Exemplo: Maria tem 5 carros, mas apenas 3 garagens. De quantas maneiras distintas Maria pode guardar 3 de seus 5 carros nessas garagens?

Resposta: \(5 \times 4 \times 3 = 60\) maneiras.

Arranjo Simples

- Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo simples é qualquer ordenação de qualquer subconjunto de r elementos distintos do conjunto dado.

  • Nesse caso, dizemos que temos um arranjo dos elementos do conjunto, tomados r a r (\(r\leq n\)).

Exemplo: Maria tem 5 carros, mas apenas 3 garagens. De quantas maneiras distintas Maria pode guardar 3 de seus 5 carros nessas garagens?

Resposta: \(A(5)= 5 \times 4 \times 3 = 60\) maneiras.

De um modo geral, temos: \(A(n)=n\times [n-1]\times [n-2]\cdots\times [n-(r-1)]\)

Fórmula

\[A(n)=\frac{n\times [n-1]\times [n-2]\cdots\times [n-(r-1)] (n-r)!}{(n-r)!}= \frac{n!}{(n-r)!}\]

Arranjo com Reposição dos Objetos

  • Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo com reposição dos objetos é qualquer ordenação de qualquer escolha de r elementos do conjunto dado, em que os objetos selecionados são repostos no conjunto.

Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, todos cursando três disciplinas diferentes. Considere que serão premiados os três primeiros colocados nas três disciplinas diferentes. Quantos conjuntos de premiação são possíveis?

Arranjo com Reposição dos Objetos

  • Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo com reposição dos objetos é qualquer ordenação de qualquer escolha de r elementos do conjunto dado, em que os objetos selecionados são repostos no conjunto.

Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, todos cursando três disciplinas diferentes. Considere que serão premiados os três primeiros colocados nas três disciplinas diferentes. Quantos conjuntos de premiação são possíveis?

Resposta: \(30 \times 30 \times 30 = 30^3= 27000\) maneiras.

Arranjo com Reposição dos Objetos

  • Dados n objetos distintos \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\) em um conjunto.

  • Um arranjo com reposição dos objetos é qualquer ordenação de qualquer escolha de r elementos do conjunto dado, em que os objetos selecionados são repostos no conjunto.

Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, todos cursando três disciplinas diferentes. Considere que serão premiados os três primeiros colocados nas três disciplinas diferentes. Quantos conjuntos de premiação são possíveis?

= Resposta: \(30 \times 30 \times 30 = 30^3= 27000\) maneiras.

De um modo geral, temos: \(A(n)=n\times n\times n\cdots\times n= n^r\)

Combinação

Combinação Simples

A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.

Combinação Simples

A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.

Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, considere que serão selecionados três para fazerem parte de uma comissão. Considere as pessoas desse grupo como sendo \(P_1, P_2\) e \(P_3\). De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa equipe?

  • Note que para um dado grupo: \(\{P_1, P_2,P_3\}=\{P_2, P_1,P_3\}=\{P_2, P_3,P_1\}, \cdots\)

Combinação Simples

A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.

Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, considere que serão selecionados três para fazerem parte de uma comissão. Considere as pessoas desse grupo como sendo \(P_1, P_2\) e \(P_3\). De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa equipe?

  • Note que para um dado grupo: \(\{P_1, P_2,P_3\}=\{P_2, P_1,P_3\}=\{P_2, P_3,P_1\}, \cdots\)
= Resposta: \(\frac{30 \times 29 \times 28}{3!} = 4060\) maneiras.

Combinação Simples

A combinação de n elementos, \(P_1, P_2, P_3, P_4, \cdots,P_n\), tomados r a r, com 1 ≤ r ≤ n, é a escolha de qualquer subconjunto de tamanho r desses n elementos, de modo que a ordem dos objetos no subconjunto não implica em conjuntos distintos.

Exemplo: Em uma turma de 30 alunos, considere que serão selecionados três para fazerem parte de uma comissão. Considere as pessoas desse grupo como sendo \(P_1, P_2\) e \(P_3\). De quantas maneiras diferentes pode ser formada essa equipe?

  • Note que para um dado grupo: \(\{P_1, P_2,P_3\}=\{P_2, P_1,P_3\}=\{P_2, P_3,P_1\}, \cdots\)
= Resposta: \(\frac{30 \times 29 \times 28}{3!} = 4060\) maneiras.

Generalização

  • Generalizando:

\(\begin{align*}C(n)&= \\\end{align*}\)

Generalização

  • Generalizando:  

\(\begin{align*}C(n)&=\frac{n \times [n-1]\times [n-2]\times \cdots [n-r+2] \times [n-(r-1)]}{r!}\\ &= \frac{n \times [n-1]\times [n-2]\times \cdots [n-(r-2)] \times [n-(r-1)]\times [n-r]!}{r![n-r]!}\\&= \frac{n!}{r![n-r]!}\end{align*}\)

Convenções

  • \(0!=1\)

  • Uma conbinação de n elementos tomados r a r será denotada por: \(\begin{align*} {n \choose r} &= \frac{n!}{r!(n-r)!}\end{align*}\)

  • \({n \choose r}\) é denominado Coeficiente Binomial

  • \({n\choose 0}={n\choose n}=1\)

  • Se \(i<0\) ou \(i> n\) então \({n\choose i}=0\)

Observação: mais exemplos nas Notas de Aulas, página 49.

Exercício

A produção de um dia de operação de uma máquina foi investigada, tendo sido identificadas 50 peças com algum defeito em um total de 1000 peças produzidas. Suponha que um orgão que fiscaliza a qualidade dos itens produzidos irá realizar um sorteio aleatório de 10 peças, que serão investigadas pelo controle de qualidade.

  • Qual a probabilidade da amostra escolhida não apresentar peças com defeito?