Principais Modelos Discretos
Modelos
Um modelo probabilístico discreto é caracterizado pela sua função de probabilidade (ou pela sua função de distribuição acumulada, FDA).
Aqui, trataremos dos modelos probabilísticos:
- Modelo de Bernoulli;
- Modelo Binomial;
- Modelo de Poisson e
- Modelo hipergeométrico.
No entanto, existem outros modelos discretos, indicados para resolver muitos problemas práticos como: o modelo geométrico, o modelo binomial negativo, entre outros.
Modelo de Bernoulli
Variáveis de Bernoulli
Vimos que algumas variáveis são definidas a partir de resultados de experimento dicotômicos.
Escolher uma semente ao acaso e verificar se ela germina ou não:
\[Y=\begin{cases}1 &\mbox{ se a semente não germina;}\\ 0 &\mbox{se a semente germina.} \\ \end{cases}\]
Escolher um pacote contendo 15 sementes e verificar se o mesmo será idenizado: \[X=\begin{cases}1 &\mbox{ se o pacot. é idenizado}\\ 0 &\mbox{se o pacot. não é idenizado. } \\ \end{cases}\]
Ensaios de Bernoulli
Considere que um experimento aleatório pode apresentar apenas dois resulados (sucesso e fracasso).
Vamos dizer que ocorre o “sucesso”, se o evento investigado ocorre.
Vamos dizer que ocorre o “fracasso” quando ocorre o evento complementar ao “sucesso”.
Esse tipo de experimento é chamada do “Ensaios de Bernoulli”.
Exemplos
Uma peça é classificada como defeituosa ou não defeituosa,
- defeituosa: sucesso;
- não defeituosa: fracasso.
O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo,
- positivo: sucesso;
- negativo: fracasso.
Uma imagem representa ou não um dado objeto,
- representa: sucesso;
- não representa: fracasso.
Um entrevistado concorda ou não com uma afirmação feita,
- concorda: sucesso,
- não concorda: fracasso.
Modelo de Bernoulli
Seja X uma v.a. vinda de um ensaio de Bernoulli, tal que
\(\begin{align*}\label{} X&= \left\{ \begin{array}{lllllll} 0,~~ & \text{se corre fracasso (F),}\\ 1, ~~ &\text{se ocorre sucesso (S).} \end{array} \right.\\ \end{align*}\)
Considerando: \(P(X=1)=p\) e \(P(X=0)=(1-p)\), a f.p. de X pode ser escrita como:
\(\begin{align*} p(x)&= \left\{ \begin{array}{lllllll} p^xq^{1-x},~~ & \text{se}~~ x=0,1; \ \ \ \mbox{com } q=(1-p) \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ 0\leq p \leq 1\\ 0, ~~ &\text{se}~~ x\neq 0,1. \end{array} \right.\\ \end{align*}\)
Notação: \(X \sim Bernoulli(p)\).
Esperança e variância do modelo de Bernoulli
A esperança e a variância de \(X \sim Bernoulli(p)\) são:
\(\begin{array}{rcl} \mu_X&=&1 \times p + 0 \times (1-p) \mbox{ } \Longrightarrow \boxed{\mu_X = p} \\ &&\\ E[X^2]&=& 1^2 \times p + 0^2 \times (1-p) \mbox{ } \Longrightarrow \mbox{ } \boxed{E[X^2] = p}\\ &&\\ \sigma^2_{X}&=&E[X^2] - \mu_X^2\\ & & \\ \sigma^2_{X}&=& p - p^2 \mbox{ } \Longrightarrow \mbox{ } \boxed{\sigma^2_{X}= p(1-p)}\\ \end{array}\)
Exemplo: ensaios de Bernoulli independentes
Suponha que seja observada a produção de itens por uma máquina, e que cada item tem a probabilidade \(0,05\) de ser defeituoso. Suponha ainda que sejam selecionados ao acaso 4 itens, e que defeitos e não defeitos ocorram de forma independente. Nessas condições, qual a probabilidade de que se tenha exatamente 0, 1, 2, 3 e 4 itens defeituosos na amostra de tamanho 4?
Considere,
S: defeito;
F: não defeito.
Exemplo:ensaios de Bernoulli independentes
| \(N^o\) | Pontos Amostrais | Possibilidades | Probabilidade de cada sequência | Probabiliade |
|---|---|---|---|---|
| 0 | FFFF | \({4 \choose 0}=1\) | \((0,95)(0,95)(0,95)(0,95)\) | \({4 \choose 0}(0,95)^4\) |
| 1 | FFFS; FFSF; FSFF; SFFF; | \({4 \choose 1}=4\) | \((0,95)(0,95)(0,95)(0,05)\) | \({4 \choose 1}(0,95)^3(0,05)\) |
| 2 | FFSS; SSFF; FSSF; SFFS; SFSF; FSFS; | \({4 \choose 2}=6\) | \((0,95)(0,95)(0,05)(0,05)\) | \({4 \choose 2}(0,95)^2(0,05)^2\) |
| 3 | SSSF; SSFS; SFSS; FSSS; | \({4 \choose 3}=4\) | \((0,95)(0,05)(0,05)(0,05)\) | \({4 \choose 3}(0,95)(0,05)^3\) |
| 4 | SSSS | \({4 \choose 4}=1\) | \((0,05)(0,05)(0,05)(0,05)\) | \({4 \choose 4}(0,05)^4\) |
Modelo Binomial
- Seja a variável aleatória definida como:
Y: “Nº de sucessos em n ensaios de Bernoulli, independentes”
Logo: \(Y \in \Lambda=\left\lbrace0,1,2,\cdots,n \right\rbrace\)
Além disso: \(Y = X_1 + X_2 \cdots + X_n\),
em que \(X_i \sim Bernoulli(p)\), para \(i=1,2, \cdots,n\)
- A f.p. de \(Y\) é:
\(\begin{align*}\label{} p(y)&= \left\{ \begin{array}{lllllll} \binom{n}{y} p^yq^{n-y},~ & \text{se}~ y \in S; \ \ \ \ \ \ \ \ q=(1-p) \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ 0\leq p \leq 1,\\ 0, ~ &\text{se}~ y \notin S. \end{array} \right.\\ \end{align*}\)
Notação: \(Y \sim Binomial(n,p)\).
Esperança e variância do modelo Binomial
A esperança e a variância de \(Y \sim Binomial(n,p)\) são obtidas a seguir.
\(\begin{array}{rcl} \mu_Y&=& E[X_1 + X_2 + \cdots + X_n] \\ &=& E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n]\\ &&p + p \cdots + p \mbox{ } \Longrightarrow \mbox{ } \boxed{\mu_Y = np}\\ &&\\ \sigma^2_{Y}&=&Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \mbox{ (como os ensaios são independentes)}\\ &=&Var(X_1) + Var(X_2) + \cdots + Var(X_n) \\ &=& \sigma^2_{X} + \sigma^2_{X} + \cdots + \sigma^2_{X}\\ &=& n\sigma^2_{X} \mbox{ } \Longrightarrow \mbox{ } \boxed{\sigma^2_{Y}= np(1-p)}\\ \end{array}\)
Exemplo
Amostras de 20 peças de um processo de um corte metálico são selecionadas a cada 1 hora. É sabido que 1% das peças requerem retrabalho. Seja Y a v.a. que representa o número de peças, em uma amostra de tamanho 20, que requerem retrabalho, selecionadas ao acaso. Se um valor observado de Y excede a sua média em mais de três desvios-padrões, é levantada a suspeita de um problema no processo.
a) Caso seja mantida a porcentagem de 1% de peças que requerem retrabalho, qual é a probabilidade de Y exceder a sua média em mais de três desvios-padrões?
b) Qual a probabilidade de Y exceder 1 em pelo menos uma das próximas cinco horas de amostragem?
c) Se a porcentagem aumentar para 4%, qual a probabilidade de Y exceder 1?
d) Se a porcentagem aumentar para 4%, qual a probabilidade de Y exceder a sua média em mais de três desvios-padrões?
Gráfico da função de probabilidade
- \(n = 20\) e \(p=0.01\).
Generalização da distribuição binomial
Suponha que se tenha uma quantidade grande de ensaios independentes de Bernouli.
Denotando a média por \(np = \lambda\) então \(p=\frac{\lambda}{n}\), tendo a ser pequeno.
Neste caso, pode-se pensar numa aproximação para a distribuição Binomial.
\(\begin{array}{cll} P(Y=y)&=&lim_{n\rightarrow \infty} \binom{n}{y} p^y(1-p)^{n-y}\\ &=& lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{(n-y)!y!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^y\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-y}\\ &=& lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{(n-y)!y!} \frac{\lambda^y}{n^y}\frac{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}}{\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{y}}\\ &=& lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{n}.\frac{(n-1)}{n}.\frac{(n-2)}{n}\cdots \frac{n-(y-1)}{n} .\frac{\left(1+\frac{(-\lambda)}{n}\right)^{n}}{\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{y}}.\frac{\lambda^y}{y!}\\ &=& \frac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{y!}. \\ \end{array}\)
Assim tem-se uma f.p. dada por:
\(P(Y=y)=\frac{e^{\lambda}\lambda^y}{y!}\)
que é a função de probabiliade do modelo de Poisson.
O limite anterior é válido pois, se \(n\) cresce, a quantidade \(\left(1+\frac{(-\lambda)}{n}\right)^{n}\) se aproxima do número de Euler \(e^{-\lambda}\).
A prova deste resultado pode ser realizada pela expansão binomial e a série de Taylor.
Os demais termos que dependem de \(n\) convergem para 1 quando \(n\) tende a infinito.
O parâmetro \(\lambda\) deste expressão representa a taxa de ocorrência de sucessos de Bernoulli em um espaço qualquer (tempo, comprimento, área, volume etc).
Modelo Poisson
Uma v.a. \(Y\) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda >0\) se sua f.p. é dada por:
\(\begin{align*} p(y)&= \left\{ \begin{array}{lllllll} \frac{e^{-\lambda}\lambda^{y}}{y!},~~ & \text{se}~~ y=0,1,2,\cdots \\ 0, ~~ &\text{se}~~ y\neq 0,1,2,\cdots. \end{array} \right.\\ \end{align*}\)
Temos ainda que:
\(E(Y) = Var(Y) = \lambda\).
Notação: \(Y \sim Poisson(\lambda)\).
Note que, diferentemente da distribuição binomial, a v.a. de Poisson assume valores em um conjunto infinito enumerável,
ou seja \(Y \in \left\{ 0,1,2, \cdots \right\}\).
Fenômenos modelados pelo modelo de Poisson
Número de ligações que chegam em uma central telefonica em 1 hora.
Quantidade de erros de gramática em uma página da internet.
Número de pessoas afetadas por uma determinada doença em um território ou país.
Quantidade de camarões doentes em um berçario com doze mil litros de água.
Quantidade de pessoas que chegam por hora em uma fila de supermercado.
Exemplo 2
Um posto policial recebe em média 6 solicitações por hora. Qual a probabilidade de ocorrer menos de duas solicitações em meia hora?
Gráfico da função de probabilidade
Exemplo 3
Um investigador está interessado no número de ovos depositados por uma espécie de pássaro. Numa dada estação, são encontrados 80 ninhos, que apresentou número médio de 4,1 ovos por ninho e variância de 3,9. Como a variância foi aproximadamente igual á média, o investigador assumiu que o número de ovos por ninho pode ser descrito por uma distribuição de Poisson com média 3,8.
Se realmente a distribuição populacional segue um modelo de Poisson, qual seria a probabilidade de encontrar um ninho com mais do que 5 ovos?
Qual seria a probabilidade de não encontrar nenhum ovo num ninho?
A maior concentração da distribuição está em torno de que valor?
Exemplo 2
Resolva o seguinte problema, usando a distribuição de Poisson.
Suponha que 2% dos adultos que tomam um determinado medicamento apresentam efeitos colaterais negativos. Considere um grupo de 30 pacientes adultos. Qual a probabilidade de mais de 3 apresentarem efeitos colaterais negativos?
Modelo Hipergeométrico
Suponha \(n\) objetos extraídos de forma aleatória de uma população de tamanho \(N\), em que \(r\) objetos são do tipo 1 e \(N-r\) objetos são do tipo 2.
- Se as retiradas são feitas com reposição, a v.a.
\(Y\): Nº de objetos do tipo 1 na amostra”
- segue um modelo binomial, ou seja:
\[Y\sim\mbox{ Binomial}(n,p=r/N).\]
- Se as retiradas são feitas sem reposição,
\(Y\) tem distribuição hipergeométrica com parâmetro \((N,n,r)\), cuja f.p. é dada a seguir.
\(\begin{align*}\label{} p(y)&= \left\{ \begin{array}{lllllll} \frac{\binom{r}{y} \binom{N-r}{n-y}}{\binom{N}{n}} ,~~ & \text{se}~~ y=1,2,\cdots,k,\\ 0, ~~ &\text{se}~~ y\neq 1,2,\cdots,k, \end{array} \right.\\ \end{align*}\)
\(k=\min\{r,n\}\), em que:
- N é o total de elementos na população;
- n é o tamanho da amostras extraída de forma aleatória sem reposição;
- r é o número de elementos na população que são do tipo 1;
- Y é a v.a. que conta o número de elementos do tipo 1 na amostra.
Notação: \(Y\sim\mbox{hipergeométrica}(N,n,r)\).
\(E[Y]=n(r/N)\)
\(\sigma^2=n\frac{r}{N}\frac{(n-r)}{N}\frac{(N-n)}{(N-1)}\)
Exemplo 3
Em problemas de controle de qualidade, suponha que num lote de \(N\) = 100 peças, \(r\) = 15 sejam defeituosas.
-Escolhendo-se \(n\) = 10 peças, sem reposição, responda.
- Qual a probabilidade de não se obter peças defeituosas?
- Qual a probabilidade de se obter no máximo uma com defeito?
- Qual é a esperança da quantidade de peças com defeito?
- E se as peças forem retiradas com reposição, como ficam essas probabilidades?
Gráfico da função de probabilidade da distribuição Hipergeométrica
