Seja X uma variável e \(( x_1, \ldots,x_n )\), ou \(( x_1, \ldots,x_N )\), uma sequência de valores observados de X, então a média nesse conjunto de valores é dada por:

• \(\overline{x}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n} \mbox{ (amostra) ou } \mu=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{N} \mbox{(população)}\) sendo:
  • \(\overline{x}\) notação para média amostral,
  • \(\mu\) notação para média populacional,
  • \(n\) quantidade de elementos na amostra e
  • \(N\) quantidade de elementos na população.

Considere a série de dados:

##  [1] 1.63 1.77 1.75 1.71 1.50 1.77 1.65 1.69 1.71 1.68

A soma dos valores é dada por:

## [1] 16.86

A média desta série é:

## [1] 1.69

Suponha que o controle de qualidade de uma empresa faça o registro do número de itens produzidos com defeito por dia. Considerando um período de um ano, foi construída a seguinte tabela de frequência.

A partir da tabela, pode-se obter a média diária de defeitos, multiplicando a frequência relativa pelos valores assumidos pela variável, em seguida somando os termos resultantes, como segue:

- \(\overline{x}=\displaystyle\sum_{j=1}^{k} x_j f_j\)

• Ex: obtenha a média.

Considere a nota do ENEM dos ingressantes neste curso em 2022.

Vendas diárias por duas filiais de uma loja.

Observações

• A variância é uma medida da variabilidade dos dados em torno da média.

• Sua interpretação fica comprometida pela alteração da unidade da variável, ocorrida devido a obtenção dos quadrados dos desvio.

• Para contornar essa dificuldade, é comum o uso da raiz quadrada da variância, em vez de seu valor propriamente dito. Neste caso, tem-se o desvio-padrão.

Seja \(x_1, x_2, \cdots, x_N\) uma sequência de valores observados de uma variável X. A variância da “população X” é denotada aqui por \(\sigma^2\).

Considerando \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) uma sequência de valores observados de uma variável X.

• \(\mbox{Variância: } S^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}\)

• \(\mbox{Desvio-Padrão: } S=\sqrt\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}\) em que:

• \(\overline{x}\) denota a média da amostral

• e \(n\) denota a quantidade de elementos na amostra.

Suponha novamente o registro do número de itens produzidos com defeito por dia em um processo produtivo. Considerando um período de ano e a seguinte tabela de frequência.

Qual seria a variância amostral?

Assim, a variância e o desvio-padrão são dados, respectivamente, por:

• \(S^2=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}(x_j-\overline{x})^2 (\frac{n_j}{n-1}) =\frac{581,735}{364} \approx 1,598\)
• \(S=1,26.\)

O CV é uma medida  de variabilidade relativa,  é a razão entre o desvio padrão e a média. 

Assim, essa é uma medida expressa em percentual e seu cálculo é mostrado a seguir.

• \(\mbox{População: } CV\%=\frac{\sigma}{\mu} \times 100\)
• \(\mbox{Amostra: } CV\%=\frac{S}{\overline{x}} \times 100\)

##  [1]  73  73  73  74  79  81  81  87  92  92  92 119 119

##        73        74        79        81        87        92       119 
## 0.2307692 0.3076923 0.3846154 0.5384615 0.6153846 0.8461538 1.0000000