Teoria das probabilidades
Probabilidade Condicional
Conceito
Forma de obter valores de probabilidade, quando se tem alguma informação parcial a respeito do resultado de um experimento aleatório.
muitas vezes é utilizada para computar mais facilmente valores de probabilidades que se tem interesse.
Definição
Seja um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\).
Se \(A,B \subset \Omega\), então a probabilidade condicional do evento \(A\) dado que \(B\) ocorreu é definida como:
\[P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \ \ \ \ \ P(B)>0,\]
Teorema do Produto
Probabilidade Condicional e Teorema do Produto
Seja um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\).
Se \(A,B \subset \Omega\), então a probabilidade condicional do evento \(A\) dado que \(B\) ocorreu é definida como:
\[P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \ \ \ \ \ P(B)>0,\]
Isso implica que
\(P(A \cap B)= P(A|B)\cdot P(B) \Longrightarrow P(A \cap B)= P(B|A)\cdot P(A).\)
A relação acima é conhecida como Teorema do Produto.
Exemplo
| Segunda opção | Primeira opção | Total | |
|---|---|---|---|
| Ciência da Computação | 3 | 32 | 35 |
| Engenharia Civil | 4 | 7 | 11 |
| Engenharia de Produção | 11 | 47 | 58 |
| Engenharia de Software | 11 | 29 | 40 |
| Engenharia Mecânica | 7 | 58 | 65 |
| Total | 36 | 173 | 209 |
P: Engenharia de Produção;
Ci: Engenharia Civil;
S: Engenharia de Software;
M: Engenharia Mecânica e
C: Ciência da Computação.
Considere a realização do experimento aleatório que consiste na seleção aleatória simples de um estudante que respondeu o questionário.
Exemplo
Dado que o estudante seja do curso de Ciência da Computação, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?
| Segunda opção | Primeira opção | Total | |
|---|---|---|---|
| Ciência da Computação | 3 | 32 | 35 |
| Engenharia Civil | 4 | 7 | 11 |
| Engenharia de Produção | 11 | 47 | 58 |
| Engenharia de Software | 11 | 29 | 40 |
| Engenharia Mecânica | 7 | 58 | 65 |
| Total | 36 | 173 | 209 |
- \(P(1^a\ op.|C)=\)
Aqui, o espaço amostral é reduzido pela adição de uma informação, ou seja, a probabilidade é condicionada a uma informação extra.
Tabela de dupla entrada para frequências relativas
| Segunda opção | Primeira opção | Total | |
|---|---|---|---|
| Ciência da Computação | 0.0143541 | 0.1531100 | 0.1674641 |
| Engenharia Civil | 0.0191388 | 0.0334928 | 0.0526316 |
| Engenharia de Produção | 0.0526316 | 0.2248804 | 0.2775120 |
| Engenharia de Software | 0.0526316 | 0.1387560 | 0.1913876 |
| Engenharia Mecânica | 0.0334928 | 0.2775120 | 0.3110048 |
| Total | 0.1722488 | 0.8277512 | 1.0000000 |
- dado que o estudante seja do curso de Ciência da Computação, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?
Tabela de dupla entrada para frequências relativas
| Segunda opção | Primeira opção | Total | |
|---|---|---|---|
| Ciência da Computação | 0.014 | 0.153 | 0.167 |
| Engenharia Civil | 0.019 | 0.033 | 0.053 |
| Engenharia de Produção | 0.053 | 0.225 | 0.278 |
| Engenharia de Software | 0.053 | 0.139 | 0.191 |
| Engenharia Mecânica | 0.033 | 0.278 | 0.311 |
| Total | 0.172 | 0.828 | 1.000 |
- Dado que o estudante seja do curso Ciência da Computação, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?
| Segunda opção | Primeira opção | Total | |
|---|---|---|---|
| Ciência da Computação | 0.086 | 0.914 | 1 |
\(P( 1^a\ op.|C)= \frac{P(1^a\ op.\cap C)}{P(C)}=\frac{\frac{32}{209}}{\frac{35}{209}}=\frac{32}{209} \times \frac{209}{35} \approx 0,91.\)
Exemplo
para os demais cursos.
\(P(1^a\ op.| C)=\frac{32}{35} \approx 0,91\).
\(P(1^a\ op.| Ci)=\frac{7}{11} \approx 0,64\).
\(P(1^a\ op.| S)=\frac{29}{40} \approx 0,73\).
\(P(1^a\ op.| M)=\frac{58}{65} \approx 0,89\).
Agora trataremos dos seguintes temas:
- Definir a probabilidade condicional;
- Apresentar a probabilidade conjunta (Teorema do Produto)
- Estabelecer independência entre eventos;
- Derivar a Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes;
- Aplicar os resultados em problemas práticos.
Exemplo
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
- Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que:
ambas sejam de mesmo tipo.
- Primeira retirada
L (lima): \(P(L)\)
E (pêra): \(P(E)\)
T (Terra): \(P(T)\)
Diagrama de árvore
Diagrama de árvore e probabilidades marginais
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que: ambas sejam da terra.
Prob. Marginal na primeira retirada
L (lima): \(P(L)\)
E (pêra): \(P(E)\)
T (Terra): \(P(T)\)
\(\Omega=\{LL, LA, LT, AL,AA,AT,TL,TA,TT \}\) 
Diagrama de árvore
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que: ambas sejam da terra.
Prob. Marginal
L (lima): \(P(L)\)
E (pêra): \(P(E)\)
T (Terra): \(P(T)\)
\(P(TT)=P(T \cap T)= P(T)P(T|T)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\approx 0,22.\)
\(\Omega=\{LL, LA, LT, AL,AA,AT,TL,TA,TT \}\)
Exemplo
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que: : ambas sejam da mesma qualidade.
Continuação
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que: : ambas sejam da mesma qualidade.
\(P(TT)=P(T \cap T)= P(T)P(T|T)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\approx 0,22.\)
Continuação
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que: : ambas sejam da mesma qualidade.
Resolução:
\(P(TT)=P(T \cap T)= P(T)P(T|T)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\approx 0,22.\) - \(P(LL)=P(L \cap L)= P(L)P(L|L)=\frac{2}{10}\times \frac{1}{9}\approx 0,02\) - \(P(EE)=P(E \cap E)= P(E)P(E|E)=\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}\approx 0,07\)
\[P(\mbox{ambas de mesmo tipo})= P(TT) +P(LL)+P(EE) \approx 0,31.\]
Generalização do Teorema do Produto
Teorema
O Teorema do Produto pode ser generalizado da seguinte forma:
\[P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)= P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2\cap A_1) \ldots P(A_n|A_1 \cap \ldots \cap {A_{n-1}}).\]
Nota: Vejam mais exemplos nos materiais de apoio.
Independencia
Independencia
- Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição.
Eventos Independentes
Uma urna contém 2 laranjas limas, 3 pêras e 5 da terra.
Se duas laranjas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de ambas serem da terra?
Lima: \(P(L)=2/10\);
Pêra: \(P(E)=3/10\);
Terra: \(P(T)=5/10.\)
- Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição.
\(P(TT)=P(T \cap T)= P(T)P(T|T)= P(T)P(T)=\frac{5}{10}\times \frac{5}{10}=\frac{25}{100}\approx 0,25\)
- Nesse caso, os eventos são independentes.
Diagrama de árvore: independência
Definição
Dois eventos \(A\) e \(B\) são idependentes se, e somente se,
\[P(A \cap B)= P(A)\cdot P(B).\]
Exemplo
Suponha que seja observada a produção de itens por uma máquina,
e que cada item tem a probabilidade \(0,05\) de ser defeituoso.
São selecionados ao acaso 4 itens de forma independente.
Qual a probabilidade de que se tenha exatamente 0, 1, 2, 3 e 4 itens defeituosos na amostra de tamanho 4?
Considere,
D: defeito;
B: não defeito (Bom).
Eventos Independentes
| \(N^o\) | Eventos | Possibilidades | Probabilidade de cada sequência | Probabiliade |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ||||
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 |
Eventos Independentes
| \(N^o\) | Eventos | Possibilidades | Probabilidade de cada sequência | Probabiliade |
|---|---|---|---|---|
| 0 | BBBB | \({4 \choose 0}=1\) | \((0,95)(0,95)(0,95)(0,95)\) | \({4 \choose 0}(0,95)^4\) |
| 1 | BBBD; BBDB; BDBB; DBBB; | \({4 \choose 1}=4\) | \((0,95)(0,95)(0,95)(0,05)\) | \({4 \choose 1}(0,95)^3(0,05)\) |
| 2 | BBDD; DDBB; BDDB; DBBD; DBDB; BDBD; | \({4 \choose 2}=6\) | \((0,95)(0,95)(0,05)(0,05)\) | \({4 \choose 2}(0,95)^2(0,05)^2\) |
| 3 | DDDB; DDBD; DBDD; BDDD; | \({4 \choose 3}=4\) | \((0,95)(0,05)(0,05)(0,05)\) | \({4 \choose 3}(0,95)(0,05)^3\) |
| 4 | DDDD | \({4 \choose 4}=1\) | \((0,05)(0,05)(0,05)(0,05)\) | \({4 \choose 4}(0,05)^4\) |
Probabilidade Total
Partição do Espaço Amostral
- Considere uma sequência de eventos \(A_1,A_2, \cdots, A_n \subset \Omega\) tal que
\[A_i \cap A_j=\emptyset\]
para todo \(i\neq j\). Ou seja, \(A_1,A_2, \cdots, A_n\) são dois a dois disjuntos, de modo que
\[\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i=\Omega,\]
Nesse caso \(A_1,A_2, \cdots, A_n\) forma uma partição de \(\Omega\).
Partição do Espaço Amostral
- Considere uma sequência de eventos \(A_1,A_2, \cdots, A_n \subset \Omega\) tal que
\[A_i \cap A_j=\emptyset\]
para todo \(i\neq j\). Ou seja, \(A_1,A_2, \cdots, A_n\) são dois a dois disjuntos, de modo que
\[\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i=\Omega,\]
Nesse caso \(A_1,A_2, \cdots, A_n\) forma uma partição de \(\Omega\).
Lei da Probabilidade Total
Considere um evento B qualquer tal que \(B \subset \Omega\), então B pode ser escrito como:
\[B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup \cdots \cup (B\cap A_n).\]
Lei da Probabilidade Total
Considere um evento B qualquer tal que \(B \subset \Omega\), então B pode ser escrito como:
\[B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup \cdots \cup (B\cap A_n).\]
Deste modo, a probabilidade total de B pode ser obtida pelo axioma III da probabilidade.
Lei da Probabilidade Total
Considere um evento B qualquer tal que \(B \subset \Omega\), então B pode ser escrito como:
\[B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup \cdots \cup (B\cap A_n).\]
Deste modo, a probabilidade total de B pode ser obtida pelo axioma III da probabilidade, como segue.
\(\begin{align}P(B)&={P}( B \cap A_1)+ {P}( B \cap A_2)+\ldots +{P}( B \cap A_n)\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P}( B \cap A_i)\\P(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P}(B|A_i){P}(A_i).\end{align}\)
Lei da Probabilidade Total
Considere um evento B qualquer tal que \(B \subset \Omega\), então B pode ser escrito como:
\[B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup \cdots \cup (B\cap A_n).\]
Deste modo, a probabilidade total de B pode ser obtida pelo axioma III da probabilidade, como segue.
\(\begin{align}P(B)&={P}( B \cap A_1)+ {P}( B \cap A_2)+\ldots +{P}( B \cap A_n)\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P}( B \cap A_i)\\P(B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P}(B|A_i){P}(A_i).\end{align}\)
Essa expressão é conhecida como Lei da Probabilidade Total
Exemplo
Suponha que três campus da UFC (\(C_1, C_2\) e \(C_3\)) têm as seguintes porcetagens de alunos em cursos de TI: 60%, 70% e 90%, respectivamente.
Suponha que um campus é escolhido ao acaso e então são escolhidos, também ao acaso, e com reposição, 10 alunos.
a) Sabendo que T representa “Curso de TI” e A representa “Outra área”, qual a probabilidade de ser obtida a sequência: TTTTAAAAAA?
b) Se esse evento de fato ocorrer, qual a probabilidade desses alunos terem sido escolhidos a partir do campus \(C_1\)?
Resolução
Denotemos por \(B=TTTTAAAAAA\), então
a)
\({P}(B)= P(B|C1)P(C_1)+P(B|C_2)P(C_2)+P(B|C_3)P(C_3)\) \({P}(B)= (0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}+ (0,3)^4(0,7)^6\frac{1}{3}+ (0,1)^4(0,9)^6\frac{1}{3}=0,0003\)
\[\begin{align}{P}(C_1|B)&= \frac{P(B|C1)P(C_1)}{P(B|C1)P(C_1)+P(B|C_2)P(C_2)+P(B|C_3)P(C_3)}\\ &=\frac{(0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}}{(0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}+ (0,3)^4(0,7)^6\frac{1}{3}+ (0,1)^4(0,9)^6\frac{1}{3}}=0,54.\end{align}\]
Teorema de Bayes
Lei da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
A partir da Lei da Probabilidade Total de um evento B numa partição \(A_1,A_2, \cdots, A_n\) de \(\Omega\),
as probabilidades condicionais revesas \(P(A_j|B)\) para \(j = 1,2, \ldots ,n\), podem ser obtidas da seguinte forma:
\[\begin{align}{P}(A_j|B)= \frac{ {P}(B|A_j){P}(A_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {P}(B|A_i){P}(A_i)}, j=1,2, \ldots, n.\end{align}\]
- O Teorema de Bayes relaciona \(P(A_j|B)\) com \(P(B|A_j)\), situação em que a ordem da condicionalidade é invertida.
Exemplo
Um paciente recebeu o resultado de um exame de laboratório que detecta uma doença em \(98\%\) dos casos quando a doença está presente no organismo,
mas fornece “falso positivo” para \(1\%\) das pessoas testadas.
Sabendo que \(0,2\%\) da população tem a doença e que o resultado deu positivo para um idivíduo selecionado ao acaso,
qual a probabiliade do paciente ter de fato a doença?