• Entender os conceitos que embasam a teoria de probabilidades.

• Conhecer as definições já estabelecidas para a probabilidade: clássica, frequentista e axiomática.

• Introduzir probabilidade condicional.

• Conhecer os conceitos de dependência e independência entre eventos aleatórios.

• Entender o Teorema de Bayes.

Ramo da matemática destinado a quantificar incertezas a cerca de fenômenos não determinísticos (aleatórios).

Experimento Aleatório

Conhecemos os seus possíveis resultados, mas não sabemos qual resultado irá ocorrer, antes de sua realização.

Exemplo: laçamento de uma moeda.

A partir dos experimentos aleatórios podem ser definidos os conceitos de:

• espaço amostral

• e eventos aleatórios

  .

Qual é o espaço amostral \(\Omega\) associado a cada experimento citado?

Se o espaço amostral é infinito, este ainda pode ser:

enumerável (contável),

• exemplo:

  • número de veículos que passam por um coletor de tráfego por dia, num período de tempo indeterminado, \(\Omega= \mathbb{N}\).

Se o espaço amostral é infinito, este ainda pode ser:

enumerável (contável),

• exemplo:

  • número de veículos que passam por um coletor de tráfego por dia, num período de tempo indeterminado, \(\Omega= \mathbb{N}\).

ou não enumerável (um intervalo),

• exemplo:

  • verificar a altura do nível da água em partes de um açude, \(\Omega=\)

Se o espaço amostral é infinito, este ainda pode ser:

enumerável (contável),

• exemplo:

  • número de veículos que passam por um coletor de tráfego por dia, num período de tempo indeterminado, \(\Omega= \mathbb{N}\).

ou não enumerável (um intervalo),

• exemplo:

  • verificar a altura do nível da água em partes de um açude, \(\Omega=(0,\infty) = \mathbb{R}_*^{+}\).

Classificação para espaços amostrais.

1. Infinito contável ou finito: espaço amostral discreto.

2. Não enumerável (um intervalo da reta): espaço amostral contínuo.

Seja o experimento:

1. “contar o número de peças com defeito em lotes de peças fabricadas em uma linha de produção”

   • espaço amostral discreto (enumerável), podemos adotar \(\Omega=\{0,1,2, \cdots\}= \mathbb{Z}^+\);

2. “medir o tempo de execução de um algoritmo”: neste caso o espaço amostral é contínuo (não enumerável, um intervalo da reta), \(\Omega=(0, \infty)= \mathbb{R}^+\).

• Conjunto contendo um ou mais resultados possíveis de um experimento aleatório ou

• qualquer subconjunto do espaço amostral \(\Omega\).

• Conjunto contendo um ou mais resultados possíveis de um experimento aleatório ou

• qualquer subconjunto do espaço amostral \(\Omega\).

• Notação: \(A, B, C, \cdots\).

Duas moedas são lançadas, denotemos por \(C\) a face cara e \(K\) a face coroa.

• Qual é o espaço amostral?

Duas moedas são lançadas, denotemos por \(C\) a face cara e \(K\) a face coroa.

• Qual é o espaço amostral?

  \[\Omega=\{CK, KC,CC,KK\}.\]

Duas moedas são lançadas, denotemos por \(C\) a face cara e \(K\) a face coroa.

• Qual é o espaço amostral?

  \[\Omega=\{CK, KC,CC,KK\}.\]

Apresente o evento \(A\) em que a primeira moeda lançada mostra coroa.

Duas moedas são lançadas, denotemos por \(C\) a face cara e \(K\) a face coroa.

• Qual é o espaço amostral?

  \[\Omega=\{CK, KC,CC,KK\}.\]

Apresente o evento \(A\) em que a primeira moeda lançada mostra coroa.

\[A= \{ (K,K ) ,( K,C )\}\]

Duas moedas são lançadas, denotemos por \(C\) a face cara e \(K\) a face coroa.

• Qual é o espaço amostral?

  \[\Omega=\{CK, KC,CC,KK\}.\]

Apresente o evento \(A\) em que a primeira moeda lançada mostra coroa.

\[A= \{ (K,K ) ,( K,C )\}\] Quando o evento \(A\) ocorre?

• Um evento ocorre quando ocorre qualquer um de seus elementos irredutíveis.

• Esses elementos são também chamados de eventos elementares ou eventos unitários ou ainda pontos amostrais.

• Um evento elementar é denotado aqui pela letra grega minúscula \(\omega\).

favorável ao evento \(A\).

1. \(\omega \in A\): \(\omega\) pertence ao evento \(A\).

2. \(\omega \notin A\): \(\omega\) não pertence ao evento \(A\).

3. \(B \subset A\): o evento \(A\) contém o evento \(B\), ou \(B\) está contido em \(A\).

4. O evento impossível do experimento é o conjunto vazio, que é denotado por \(\emptyset\).

5. O conjunto vazio está contido em qualquer evento, ou seja, \(\emptyset \subset A\) para todo \(A \subset \Omega\).

6. \(\Omega\) é o evento certo do experimento e contém todos os outros eventos.

Considere um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\) com \(A, B \subset \Omega\).

União dos eventos A e B: \(\mbox{A} \cup \mbox{B}=\left\{ \omega \in \Omega: \omega \in \mbox{A} \mbox{ ou } \omega \in \mbox{B} \right\}\).

Considere um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\) com \[A, B \subset \Omega\].

União dos eventos A e B: \(\mbox{A} \cup \mbox{B}=\left\{ \omega \in \Omega: \omega \in \mbox{A} \mbox{ ou } \omega \in \mbox{B} \right\}\).

União

Interseção dos eventos A e B: \(\mbox{A} \cap \mbox{B}=\left\{ \omega \in \Omega: \omega \in \mbox{A} \mbox{ e } \omega \in \mbox{B} \right\}\).

Interseção dos eventos A e B: \(\mbox{A} \cap \mbox{B}=\left\{ \omega \in \Omega: \omega \in \mbox{A} \mbox{ e } \omega \in \mbox{B} \right\}\).

Interseção

Complementar de A: \(A^{\mbox{c}}= \Omega -\mbox{A} =\{\omega \in \Omega; \omega \not\in \mbox{A} \}\).

Complementar de A: \(A^{\mbox{c}}= \Omega -\mbox{A} =\{\omega \in \Omega; \omega \not\in \mbox{A} \}\).

Complementar

Se \(\mbox{A} \cap \mbox{B}=\emptyset\), então dizemos que A e B são eventos disjuntos ou mutuamente excludentes.

Se \(\mbox{A} \cap \mbox{B}=\emptyset\), então dizemos que A e B são eventos disjuntos ou mutuamente excludentes.

Eventos disjuntos.

Sejam \(A_1,A_2,A_3,...,A_n, n\geq2\), eventos no espaço amostral \(\Omega\).

1. União: \[\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_i= A_1 \cup A_2 \cup A_3\cup ...\cup A_n=\{\omega \in A_i \mbox{ para algum } i \}.\]

2. Interseção: \[\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}A_i= A_1\cap A_2 \cap A_3\cap ...\cap A_n=\{\omega \in A_i\mbox{ para todo } i\}.\]

Dado \(A \subset \Omega\), tem-se que:

• \((A^c)^c=A\)

• \(\Omega^c=\emptyset\)

• \(\emptyset^c=\Omega\)

Seja \(\Omega=\{1,6,9,3,8,7\}\) e o evento \(A \subset\Omega\) tal que: \(A=\{9,7,1\}\). Então, \(A^c=\{6,3,8\}\) o que implica:

\((A^c)^c=\) ?

Dado \(A \subset \Omega\), tem-se que:

• \((A^c)^c=A\)

• \(\Omega^c=\emptyset\)

• \(\emptyset^c=\Omega\)

Seja \(\Omega=\{1,6,9,3,8,7\}\) e o evento \(A \subset\Omega\) tal que: \(A=\{9,7,1\}\). Então, \(A^c=\{6,3,8\}\) o que implica:

• \((A^c)^c=(\{6,3,8\})^c=\{9,7,1\}=A\).

Dados \(A,B \subset \Omega\), tem-se:

• \(A \cup B = B \cup A\)

• \(A \cap B = B \cap A\)

Dados \(A, B, C \subset \Omega\), tem-se:

• \(A \cup (B \cup C)= (A \cup B) \cup C\);

• \(A \cap (B \cap C)= (A \cap B) \cap C\).

Dados \(A, B, C \subset \Omega\), tem-se:

• \(A \cup (B \cap C)= (A \cup B) \cap (A \cup C)\);

• \(A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C)\).

Seja \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f,g\}\) e o evento \(A \subset\Omega\) tal que: \(A=\{a,b,c\}\), \(B=\{b,c\}\) e \(C=\{a,c,g\}\). Quais são os eventos:

• \((A \cap B)=\)

• \((B \cup C)=\)

• \((A \cap B) \cup (A \cap C)=\)

• \(A \cap (B \cup C)=\{a,b,c\} \cap \{a,b,c,g\}=\)

Seja \(\Omega=\{a,b,c,d,e,f,g\}\) e o evento \(A \subset\Omega\) tal que: \(A=\{a,b,c\}\), \(B=\{b,c\}\) e \(C=\{a,c,g\}\). Quais são os eventos:

Do que foi visto acima, segue que:

\(A \cap (B \cup C)= \{a,b,c\}= (A \cap B) \cup (A \cap C)\).

\[(A \cup B)^c = A^c \cap B^c=\Omega-A \cup B\]

Lei de De Morgan

\[(A \cap B)^c = A^c \cup B^c=\Omega-A \cap B\]

Lei de De Morgan

Dados fornecidos por estudantes ingressantes do ano de 2020 nos cursos de engenharias do Campus da UFC de Russas.

\[\begin{aligned} \mathcal{P}(\Omega) &= \left\{ \begin{array}{ll} \emptyset, &\\ \{CK\}, \{KC\},\{CC\},\{KK\}, & \\ \{CK,KC\}, \{CK,CC\}, \{CK,KK\}, \{KC,CC\}, \{KC,KK\}, \{CC,KK\}, &\\ \{CK,KC,CC\}, \{CK,KC,KK\}, \{CK,CC,KK\}, \{KC,CC,KK\}, \\ \{CK,KC,CC,KK\}. \\ \end{array} \right.\\ \end{aligned}\]

O conjunto das partes de um espaço amostral é um conjunto de conjuntos, sendo chamado de classes de conjuntos.

O conceito formal de probabilidade está associado aos experimentos, e a partir disso, pode ser apresentado de três maneiras:

• clássica

• frequentista,

• e axiomática.

• Seja \(\Omega\) finito em que todos os seus eventos elementares são igualmente prováveis.

• A probabilidade de um evento \(A \in \mathcal{P}(\Omega)\) é:

\[P(A)= \frac{\text{nº de casos favoráveis a A}}{\text{nº de casos possíveis}}= \frac{\sharp A}{\sharp \Omega}\]

Exemplo

• Suponha que um lote com 20 peças existam cinco defeituosas.

• Experimento: Escolher ao acaso quatro peças desse lote (uma amostra de 4 elementos).

• Qual a probabilidade de ter duas peças defeituosas na amostra?

Diz respeito a frequência relativa dos eventos associados a um experimento (acontecimento) aleatório.

Simulação de lançamentos de uma moeda honesta.

• Frequência relativa da variável “Face da moeda”

    ## Experimento
    set.seed(13684)
    moeda <- c("Cara", "Coroa")
    n = seq(10,5000,30)
    nA = numeric()
    for(l in 1:length(n)){
      ## lançamento da moeda
      lanc <- sample(moeda, size=n[l], replace = TRUE)  
      ## frequência relativa dos lançamentos
      nA=rbind(nA,as.vector(table(lanc)/n[l]))
      }
    nA = cbind(nA, n)
    nA = data.frame(nA)
    names(nA) = c(moeda, "Lançamentos")

Seja \(\epsilon\) um experimento e \(\Omega\) o espaço amostral associado ao mesmo. A cada evento \(A\) desse espaço amostral associamos uma medida \(P(A)\), denominada probabilidade de \(A\), que satisfaz:

1. \(0\leq P(A) \leq 1\);

2. \(P(\Omega) = 1\);

3. se \(A_1,A_2,\cdots, A_n \in \mathcal{P}(\Omega)\) forem disjuntos 2 a 2 (ou seja \((A_i\cap A_j)=\emptyset\), para todo \(i\neq j)\), então \(P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(A_i)\).

Se \(\emptyset\) é o evento impossível, então \(P(\emptyset)=0\).

Se A e B são dois eventos quaisquer então:

\[P(A\cup B)= P(A) + P(B) - P(A\cap B).\]

Se \(A\subset B\), então \(P(A) \leq P(B).\)

\(P(A^c)= 1-P(A)\).

Dado que o estudante seja do curso de Engenharia de Produção, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?

• \(P(1^a\ op.|P)=\)

• No exemplo anterior, considere o item:

• dado que o estudante seja do curso de Engenharia de Produção, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?

• Observe que a resolução obedece a expressão:

para os demais cursos.

• \(P(1^a\ op.| C)=\frac{32}{35} \approx 0,91\).

• \(P(1^a\ op.| Ci)=\frac{7}{11} \approx 0,64\).

• \(P(1^a\ op.| S)=\frac{29}{40} \approx 0,73\).

• \(P(1^a\ op.| M)=\frac{58}{65} \approx 0,89\).

• Definir a probabilidade condicional;
• Apresentar a probabilidade conjunta (Teorema do Produto)
• Estabelecer independência entre eventos;
• Derivar a Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes;
• Aplicar os resultados em problemas práticos.

• Forma de obter valores de probabilidade, quando se tem alguma informação parcial a respeito do resultado de um experimento aleatório.

• muitas vezes é utilizada para computar mais facilmente valores de probabilidades que se tem interesse.

• Seja um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\).

• Se \(A,B \subset \Omega\), então a probabilidade condicional do evento \(A\) dado que \(B\) ocorreu é definida como:

\[P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \ \ \ \ \ P(B)>0,\]

• Seja um experimento aleatório com espaço amostral \(\Omega\).

• Se \(A,B \subset \Omega\), então a probabilidade condicional do evento \(A\) dado que \(B\) ocorreu é definida como:

\[P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \ \ \ \ \ P(B)>0,\]

Isso implica que
\(P(A \cap B)= P(A|B)\cdot P(B) \Longrightarrow P(A \cap B)= P(B|A)\cdot P(A).\)

A relação acima é conhecida como Teorema do Produto.

Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 azuis e 5 verdes.

• Se duas bolas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que:

ambas sejam verdes.

• Primeira retirada

B (branca): \(P(B)\)

A (azul): \(P(A)\)

V (verde): \(P(V)\)

Nota: Vejam mais exemplos nos materiais de apoio.

• Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição.

- Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 azuis e 5 verdes.

• Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição.

\(P(VV)=P(V \cap V)= P(V)P(V|V)= P(V)P(V)=\frac{4}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\approx 0,198\)

• Nesse caso, os eventos são independentes.

Denotemos por \(B=TTTTAAAAAA\), então

a)

\({P}(B)= P(B|C1)P(C_1)+P(B|C_2)P(C_2)+P(B|C_3)P(C_3)\) \({P}(B)= (0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}+ (0,3)^4(0,7)^6\frac{1}{3}+ (0,1)^4(0,9)^6\frac{1}{3}=0,0003\)

\[\begin{align}{P}(C_1|B)&= \frac{P(B|C1)P(C_1)}{P(B|C1)P(C_1)+P(B|C_2)P(C_2)+P(B|C_3)P(C_3)}\\ &=\frac{(0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}}{(0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}+ (0,3)^4(0,7)^6\frac{1}{3}+ (0,1)^4(0,9)^6\frac{1}{3}}=0,54.\end{align}\]

\[\begin{align}{P}(A_j|B)= \frac{ {P}(B|A_j){P}(A_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {P}(B|A_i){P}(A_i)}, j=1,2, \ldots, n.\end{align}\]

• O Teorema de Bayes relaciona \(P(A_j|B)\) com \(P(B|A_j)\), situação em que a ordem da condicionalidade é invertida.