• Aqui o objetivo é analisar conjuntamente duas variáveis aleatórias, \(Y_1\) e \(Y_2\).

• o par \((Y_1,Y_2)\) é chamado de variável aleatória bidimensional ou vetor aleatório.

• Cada par de números reais assumidos por \((Y_1,Y_2)\) é representando por um ponto no plano cartesiano \((y_1,y_2)\).

• O vetor aleatório \((Y_1,Y_2)\) será dito ser discreto se \(Y_1\) e \(Y_2\) forem variáveis aleatórias discretas.

• e será dito ser contínuo se \(Y_1\) e \(Y_2\) forem variáveis aleatórias contínuas.

O objetivo é estudar:

• Distribuição Conjunta de Duas Variáveis Aleatórias;

• Distribuições marginais;

• A esperança e a variância marginal;

• Independência

• Variabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias.

Para \((Y_1,Y_2)\) discreto, os seus possíveis valores é um conjunto contável no plano cartesiano \((y_{1i},y_{2j})\), \(i=1,2, \cdots\) e \(j=1,2, \cdots\).

A sua distribuição de probabilidades é:

\[p_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1i},y_{2j})=P(Y_1=y_{1i},Y_2=y_{2j}), \]

para \(i=1,2, \cdots\) e \(j=1,2, \cdots\), que satisfaz:

• \(p_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1i},y_{2j}) \geqslant 0\) para \(i=1,2, \cdots\) e \(j=1,2, \cdots\),

• \(\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} p_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1i},y_{2j}) = 1\).

As funções de probabilidades marginais de \(Y_1\) e \(Y_2\) são:

• \(p_{_{Y_{1}}}(y_{1i})=\sum_{j=1}^{\infty} p_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1i},y_{2j})\).

• \(p_{_{Y_{2}}}(y_{2j})=\sum_{i=1}^{\infty} p_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1i},y_{2j})\).

para \(i,j=1,2, \cdots .\)

A esperança e a variância em relação as probabilidades marginais são dadas,respectivamente, por:

• \(E[Y_{1}]=\sum_{i=1}^{\infty} y_{1i} p_{_{Y_{1}}}(y_{1i})\) para esperança de \(Y_1\),

• \(E[Y_{2}]=\sum_{j=1}^{\infty} y_{2j} p_{_{Y_{2}}}(y_{2j})\) para esperança de \(Y_2\);

• \(\sigma_{_{Y_1 }}^2=Var(Y_1)=E[Y_{1}^2]-(E[Y_{1}])^2\) para variância de \(Y_1\);

• \(\sigma_{_{Y_2 }}^2=Var(Y_2)=E[Y_{2}^2]-(E[Y_{2}])^2\) para variância de \(Y_2\).

• Se \(Y_1\) e \(Y_2\) são variáreis aleatórias contínuas,

• a função de densidade conjunta:

\(f_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1},y_{2})\), para \((y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2\).

Essa densidade satisfaz:

• \(f_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1},y_{2}) \geqslant 0\) para todo \((y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2\),
• \(\int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty }^{\infty} f_{_{Y_1,Y_2}}(y_1,y_2) = 1\).

As distribuições marginais de \(Y_1\) e \(Y_2\) são dadas, respectivamente, por:

• \(f_{Y_1}(y_{1})=\int_{-\infty }^{\infty}f_{_{Y_1,Y_2}}(y_{1},y_{2}) \partial y_2\).

• \(f_{Y_2}(y_2)=\int_{-\infty }^{\infty}f_{_{Y_1,Y_2}}(y_{1},y_{2}) \partial y_1\).

A esperança e a variância em relação as probabilidades marginais são dadas,respectivamente, por:

• \(E[Y_{1}]=\int_{-\infty }^{\infty} y_1 f_{_{Y_1 }}(y_{1}) \partial y_1\);

• \(\sigma_{_{Y_1 }}^2=Var(Y_1)=E[Y_{1}^2]-(E[Y_{1}])^2\).

Se \(Y_1\) e \(Y_2\) são independentes, a distribuição conjunta é dada pelo produto das densidades (ou função de probabilidades) marginais:

\[f_{_{Y_{1},Y_{2}}}(y_{1},y_{2})=f_{Y_1}(y_{1}) \times f_{Y_2}(y_{2}), \]

para todo par \((y_{1},y_{2}) \in \mathbb{R}^2.\)

• Aqui, a recíproca também é verdadeira,

• se a função de densidade puder ser fatorada como o produto das funções de densidades marginais,

• então as variáveis \(Y_1\) e \(Y_2\) são independentes.

• A covariância diz respeito ao valor médio do produto dos desvios das variáreis em relação às suas respectivas médias,

\[Cov[Y_1,Y_2]=E[(Y_1-\mu_1) (Y_2-\mu_2)],\] * \(\mu_1=E[Y_1]\) é a média de \(Y_1\) e

• \(\mu_2=E[Y_2]\) é a média de \(Y_2\).

A Equação acima pode reescrita da seguinte forma:

\[ \begin{align*} Cov[Y_1,Y_2]&=E[Y_1 Y_2 - Y_1 \mu_2 - \mu_1 Y_2 + \mu_1 \mu_2 ]\\ &=E[Y_1 Y_2]-\mu_2 E[Y_1]-\mu_1 E[Y_2]+\mu_1 \mu_2]\\ &= E[Y_1 Y_2]-E[Y_2]E[Y_1]- E[Y_1]E[Y_2] + E[Y_1] E[Y_2]. \end{align*} \]

Portanto: \(Cov[Y_1,Y_2]=E[Y_1 Y_2] - E[Y_2] E[Y_1].\)

A covariância entre duas variáveis e as variâncias em relação as marginais podem ser sumarizadas em uma matriz quadrada denominada matriz de variâncias e covariâncias como segue:

\[\begin{bmatrix} \sigma_{Y_1}^2 & Cov[Y_1,Y_2] \\Cov[Y_1,Y_2]& \sigma_{Y_2}^2 \end{bmatrix}.\]

• Se as variáveis têm correlações positivas, as variáveis tendem a mostrar um comportamento semelhante.

• Se a covariância é negativa, as variáveis tendem a mostrar um comportamento oposto.

Ao final do terceiro ano do ensino médio, ao realizar a prova do SAEB, os estudantes respondem, entre outras, as seguintes perguntas.

FC: Com que frequência seus pais ou responsáveis costumam conversar com você sobre o que acontece na escola? E: Alguma vez você abandonou a escola deixando de frequentá-la até o final do ano escolar?

Com resposta para ambas sendo uma entre as seguintes.

0: Nunca ou quase nunca. 1: De vez em quando. 2: Sempre.

Temos que, quanto maior for o valor da covariância entre duas variáveis, maior será o grau da relação linear entre elas.

Assim, para facilitar a quantificação dessa associação, definimos o coeficiente de correlação, que é uma medida entre -1 e 1, como segue

\[ \rho=\frac{Cov[Y_1,Y_2]}{\sqrt{\sigma_{_{Y_1 }}^2 \sigma_{_{Y_2 }}^2}}.\]

Para ilustrar a exploração do relacionamento entre duas variáveis, considere o Índice de Gravidade Global (IGG). O IGG é um método de avaliação para defeitos de revestimentos em concreto asfáltico. Esse método usa fatores de ponderação, sendo comumente aplicado em qualquer tipo de revestimento flexível.

### correlação
cor(y1,y2)

## [1] 0.6789465

Dispersão da Deflexão observada em uma rodovia versus o IGG.

Gráfico de dispersão.