Variáveis Aleatórias

Aqui são abordados os seguintes temas:

  • Definição de Variável Aleatória (v.a.);
  • Variável Aleatória Discreta;
  • Distribuição de uma v.a. discreta;
  • Função de Probabilidade;
  • Função de Distribuição Acumulada.

Variável Aleatória

Diagrama ilustrativo para uma variável aleatória discreta.

Diagrama ilustrativo para uma variável aleatória discreta.

  • Função dos eventos que assume valores na reta.

  • Possibilita a obtenção de valores de probabilidades induzidas aos números.

  • Esses valores formam a distribuição de probabilidades da função: variável aleatória.

Exemplo: Mensagens são enviadas por um sevidor e podem resultar em erro com probabilidade de 0,1. Se 2 mensagens são enviadas de forma independente, qual a probabilidade de ocorrer algum erro nesse envio?

Variável Aleatória Discreta e sua distribuição de probabilidade

A variável aleatória é dita ser discreta se o conjunto de valores possíveis para essa v.a. é enumerável (contável).

Exemplo: Considere uma urna com 5 bolas brancas e 10 azuis Seja o experimento: retirar ao acaso e com reposição 3 bolas da urna. Seja X = “número de bolas azuis sorteadas”.

(a) Qual é o espaço das amostras de X?

(b) Qual é a distribuição de X?

Função de Probabilidade

  • Função de Probabilidade é a função que associa a cada possível valor da variável \(X\) um valor de probabilidade.

Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória \(X=\)“número de caras”.

Qual é o espaço das amostras de \(X\)?

Função de Probabilidade

  • É a função que associa a cada possível valor da variável \(X\) um valor de probabilidade.

Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória \(X=\)“número de caras”.

A função de probabilidade de \(X\) é dada por: \[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=2\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=0\\ \end{cases}\]

Função de Probabilidade

  • É a função que associa a cada possível valor da variável \(X\) um valor de probabilidade.

Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória \(X=\)“número de caras”.

A função de probabilidade de \(X\) é dada por: \[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=2\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=0\\ \end{cases}\]

Gráfico:

Função de Probabilidade

  • É a função que associa a cada possível valor da variável \(X\) um valor de probabilidade.

Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória \(X=\)“número de caras”.

A função de probabilidade de \(X\) é dada por: \[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=2\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=0\\ \end{cases}\]

Gráfico:

Propriedaddes da Função de Probabilidade

A função de probabilidade obedece as seguintes propriedades.

  • \(0\leq p(x_i) \leq 1\) para todo \(i=1,2,...\).

  • Se a sequência \(x_1,x_2,...\) inclui todos os possíveis valores de \(X\), então \[\sum_{i=1}^{\infty}p(x_i)=1.\]

  • Se \(X\) tem uma distribuição discreta, então

\[P(X \in I) = \sum_{x_i \in I} p(x_i),\] para qualquer intervalo \(I \subset \mathbb{R}\).

Função de Distribuição Acumulada

  • A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta \(X\) é definida como

\(F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),\)

para todo \(x \in \mathbb{R}\).

Função de Distribuição Acumulada

  • A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta \(X\) é definida como

\(F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),\)

para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • Exemplo

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases}\]

Função de Distribuição Acumulada

  • A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta \(X\) é definida como

\(F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),\)

para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • Exemplo

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases}\] - FDA ?

Função de Distribuição Acumulada

  • A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta \(X\) é definida como

\(F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),\)

para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • Exemplo

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases}\] - FDA ?

\[F(x)=\begin{cases}0&\mbox{se } x<0\\ 1/4&\mbox{se } 0\leq x <1\\3/4&\mbox{se } 1 \leq x< 2\\1&\mbox{se } 2 \leq x\\ \end{cases}\]

Função de Distribuição Acumulada

  • A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta \(X\) é definida como

\(F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),\)

para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • Exemplo

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases}\] - FDA ?

\[F(x)=\begin{cases}0&\mbox{se } x<0\\ 1/4&\mbox{se } 0\leq x <1\\3/4&\mbox{se } 1 \leq x< 2\\1&\mbox{se } 2 \leq x\\ \end{cases}\]

Função de Distribuição Acumulada

  • A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta \(X\) é definida como

\(F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),\)

para todo \(x \in \mathbb{R}\).

  • Exemplo

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases}\] - FDA ?

\[F(x)=\begin{cases}0&\mbox{se } x<0\\ 1/4&\mbox{se } 0\leq x <1\\3/4&\mbox{se } 1 \leq x< 2\\1&\mbox{se } 2 \leq x\\ \end{cases}\]

Esperança, Média ou Valor Esperado de uma v.a. Discreta

  • Denotada por \(E(X)\), é a soma dos produtos de todos os possíveis valores da v.a. pelos seus respectivos valores de probabilidades.

  • Se \(X\in\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\), então:

\[E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\]

  • Se \(X\in\{x_1,x_2,\cdots \}\), então:

\[E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_i \cdot P(X=x_i).\]

Exemplo

- \(E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\)

  • Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

Exemplo

- \(E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\)

  • Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}\]

Exemplo

- \(E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\)

  • Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}\]

Representação na tabela.
X P(x)
100 0.25
200 0.5
-500 0.25
Total 1

Exemplo

- \(E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\)

  • Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}\]

Representação na tabela.
X P(x) \(x p(x)\)
100 0.25 25
200 0.5 100
-500 0.25 -125
Total 1 0

Exemplo

- \(E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\)

  • Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}\]

Representação na tabela.
X P(x) \(x p(x)\)
100 0.25 25
200 0.5 100
-500 0.25 -125
Total 1 0
  • \(E[X]=0\), o ganho esperado é zero.

Propriedades da Esperança Matemática

Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias discretas e \(a,c\) constantes, então:

  • \(E[c]=c\);
  • \(E[c.X] = c E[X]\);
  • \(E[ X \pm Y] = E[X] \pm E[Y]\);
  • \(E [aX \pm b] = a E[X] \pm b\);
  • \(E[X - E[X]]= 0\);
  • \(E[h(X)]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}h(x_i)\cdot P(X=x_i)\), em que \(h(X)\) é uma função de \(X\);
  • se \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) são variáveis aleatórias, então \(E[\sum_{i=1}^{n} X_i]=\sum_{i=1}^{n} E[X_i]\).

Probelma dos pontos

Dois jogadores com mesma habilidade jogam partidas de xadrez. O jogador que alcançar o limite de 5 vitórias ganha o jogo e recebe um prêmio em dinheiro de 1000 reais. O jogo é interrompido por motivos alheios aos dois jogadores, em um momento em que o jogador 1 está com 4 vitórias e o jogador 2 está com 3. Como dividir o prêmio?

Variância de uma v.a.

  • A variância de uma v.a. \(X\) qualquer é a média dos quadrados dos desvios de \(X\) em torno da sua esperança,

  • ou seja:

\(\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]\)

  • Da definição acima, decorre que:

    \(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.\)

  • Se \(X\) é um v.a. discreta com valores em \(\{x_1,x_2,\cdots\}\), então:

\(E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).\)

  • O desvio-padrão de \(X\) é:

\(\sigma=\sqrt{Var(X)}.\)

Variância de uma v.a.

  • A variância de uma v.a. \(X\) qualquer é a média dos quadrados dos desvios de \(X\) em torno da sua esperança,

  • ou seja:

\(\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]\)

  • Da definição acima, decorre que:

    \(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.\)

  • Se \(X\) é um v.a. discreta com valores em \(\{x_1,x_2,\cdots\}\), então:

\(E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).\)

  • O desvio-padrão de \(X\) é:

\(\sigma=\sqrt{Var(X)}.\)

  • Propriedades da Variância

  • \(Var (c)= 0\);

  • \(Var (c \cdot x) = c^2 Var(X)\);

  • \(Var (aX \pm b) = a^2 Var (X)\);

  • \(Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y) \pm 2 Cov (X,Y)\), em que \(Cov (X,Y) = E[XY] - E[X] E[Y]\).

  • Se \(X\) e \(Y\) são independentes: \(Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y).\)

Exemplo

  • Mensagens são enviadas a partir de um servidor com probabilidade 0,99 de chegar sem erro. Se 50 mensagens são enviadas, qual é o número esperado de mensagens que chegam com erro? Qual é o desvio-padrão do número de mensagens que chegam com erro?

Exemplo

  • Um produtor vende pacotes com 15 sementes. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são idenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,95.

  1. Obtenha a distribuição, média e variância da v.a. \[X=\begin{cases}1 &\mbox{ se pacot. idenizado}\\ 0 &\mbox{se pacot. não idenizado } \\ \end{cases}\]

  2. Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão idenizados?

  3. Apresente o desvio-padrão.

Considerando independência entre os \(X\)’s: \(\sigma=\sqrt{Var(Y)}=\sqrt{Var(X_1+X_2+ \cdots+X_{2000})}\)

\(\sigma_Y=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)+ \cdots+Var(X_{2000}))}\approx 8,76.\)

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, pg. 86.

\(\begin{array}{rl}P(X=0)=&P(\mbox{todas germ.})+P(\mbox{1 não germ.})+P(\mbox{2 não germ.})\}\\=&\{(0,95)^{15}+15(0,95)^{14}(0,05)+\binom{15}{2}(0,95)^{13}(0,05)^2\}\\=&0,9637998\approx 0,96.& \end{array}\\\)

\(P(X=1)=1-P(X=0)\approx 0,036\)

Esperança: \(E[X]=0 P(X=0)+1 P(X=1)=0,036.\)

\(E[X^2]=0^2P(X=0)+1^2 P(X=1)=0,036\)

Variância: \(\sigma^2=E[X^2]-(E[X])^2=(0,0384)-(0,0384)^2\approx 0,0384\)

Desvio-padrão:\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\approx 0,19\).

Seja: \(Y=\)“número de pacotes idenizados”

\(Y=X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}\)

\(\begin{array}{rl}E[Y]=&E[X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}]=E[X_1]+E[X_2]+ \cdots+E[X_{2000}]\\ =&2000E[X]\\=&2000 \times 0,036\\=&72.\\ \end{array}\\\)

\(E[Y]=72.\)