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學號： #### 1. 在開始做答前，請先將本檔案改檔名成為Final2018你的學號.Rmd, 如Final2018710561121.Rmd為學號710561121的程式答案檔。 #### 2. 改好檔名後請在File->Save with Encoding...選UTF8。 #### 3. 「每一題」的答案及說理請寫在答案紙上，Rmd檔只記錄程式計算部份，請以Code->Insert Chunk方式產生r程式區塊，並在區塊內寫下你的程式。
#### 4. 答案紙上的數字計算若沒有程式對應，表示無計算過程不會給分。
假設有兩種法官，一為有種族偏見（用\(\theta=1\)表示），另一個沒有（用\(\theta=0\)表示）。兩種法官在面臨隨機分派的案件時，其條件在被告人的種族（只有白人與非白人）下的判決有罪機率如下：
| \(Pr(V=1|W=1)\) | \(Pr(V=1|W=0)\) | |
|---|---|---|
| \(\theta=0\) | 0.5 | 0.5 |
| \(\theta=1\) | 0.4 | 0.7 |
令\(W_i\)為第i個案件被告人是否為白人的虛擬變數，\(W_i=1\)表示為白人;\(V_i\)是判決無罪（vindicate）的虛擬變數，\(V_i=1\)表示無罪開釋。
觀察一名法官的1次判決，其資料為\(\{(W_i,V_i)\}_{i=1}=\{(1,1)\}\)，其樣本概似函數為什麼？最大概似估計下，他會是什麼類型法官?
\(L(\theta=1)=0.4\) \(L(\theta=0)=0.5\) 故\(\hat{\theta}=0\), 為「沒有偏見」法官。
觀察其3次判決，樣本為\(\{(W_i,V_i)\}_{i=1}=\{(1,1),(1,0),(0,0)\}\)，其樣本概似函數為什麼？最大概似估計下，他會是什麼類型法官?
\(L(\theta=1)=0.4*0.6*0.3=0.072\) \(L(\theta=0)=0.5*0.5*0.5=0.125\) 故\(\hat{\theta}=0\)，為「沒有偏見」法官。
若真實\(\theta=1\), 只觀察一筆資料\(\{(W_i,V_i)\}_{i=1}\)下，\(\hat{\theta}\)的抽樣分配為何？
有種樣本觀察可能： 由題(1): (1,1)時,\(\hat{\theta}=0\)。 (1,0)時，\(L(\theta=1)=0.6; L(\theta=0)=0.5\); 故\(\hat{\theta}=1\)。 (0,1)時，\(L(\theta=1)=0.7; L(\theta=0)=0.5\); 故\(\hat{\theta}=1\)。 (0,0)時，\(L(\theta=1)=0.3; L(\theta=0)=0.5\); 故\(\hat{\theta}=0\)。 在\(\theta=1\)時，觀察到(1,1)機率為0.4; 觀察到(1,0)機率為0.6; 觀察到(0,1)機率為0.7; 觀察到(0,0)機率為0.3。 以上為給定W的機率，又案件為隨機指派；故觀察到(1,X)與(0,X)各有1/2，所以觀察到(1,1)機率為0.2; 觀察到(1,0)機率為0.3; 觀察到(0,1)機率為0.35; 觀察到(0,0)機率為0.15。 其中(1,1),(0,0)會得到\(\hat{\theta}=0\),故$(=0)=0.2+0.15=0.35; $(=1)=0.65.
Huang (2018, Spatial Competition of the Bank Branch Networks in Taiwan) 研究台灣銀行業的空間競爭，他思考如下的效應問題：
在一區域內一家銀行設置的分行數目，如何受該區域競爭銀行分行數影響？
被解釋變數\(BranchNumber_{ikt}\)為銀行i於行政區k在年份t時所設置的分行家數，效應解釋變數\(RivalBranches_{ikt}\)為銀行i的競爭銀行們於行政區k在年份t時所設置的分行總合家數。效應模型為：
\[BranchNumber_{ikt}=\beta^* RivalBranches_{ikt}+\epsilon_{ikt}\]
作者有放行政區的社會經濟表現變數（social-economic variable），如人口數(Population)。說明不放人口數估算出來的\(\hat{\beta}\)會高估還低估？其背後的經濟故事是什麼？
這裡作者還放了三個固定效果：(1) 銀行固定效果(\(\alpha_i\)), (2) 行政區固定效果(\(\gamma_k\))，(3) 時間固定效果(\(\tau_t\))；即 \[\epsilon_{ikt}=\alpha_i+\gamma_k+\tau_t+\nu_{ikt}\] 任選一個固定效果舉一個變數為例，用經濟故事說明忽略它會怎麼使\(\hat{\beta}\)偏誤。
作者提到此效應模型有內生性偏誤的可能，是什麼原因？
因為敵對銀行的分行設罝（\(RivalBranches_{ikt}\)）也會受此銀行分行設置的影響(\(BranchNumber_{ikt}\))。
政府對銀行的分行總數管制會怎麼樣影響模型結構？
在網路音樂還不發達時，大眾聽音樂習慣是透過CD。第一個網路音樂下載服務是1999年出現的Napster P2P音樂檔案分享，它允許使用者把CD轉出來的音樂檔免費讓其他使用者下載。Napster出現後一直爭議不斷，有人說它會造成音樂出版商的收入降低；也有人說當音樂散佈越容易時，會產生廣告效果而增加出版商收入。我們接下來就是要分析：Napster的出現是否會增加家戶使用者在CD音樂購買上的支出。
我們使用napster.csv資料來估計Napster效果，樣本含蓋1998及2000兩年，考慮用如下的迴歸式來估計Napster的效果：
\[ cdall_{ist}=\beta_0+\beta_1 Y2000_t+\beta_2 nint_s+\delta Y2000_t*nint_s+\epsilon_{ist},\]
其中\(Y2000_t=1\)代表資料來自2000年，\(nint_s=1\)表示為網路用戶。
說明上式哪個係數可用來驗證Naspter效果。又為何其他變數也要控制？
\(\delta\)可用來驗證Napster效果。\(Y2000_t\)是用來控制時間效果，\(nint_s\)是用來控制實驗組與對照組的立足點差異。
請估計Napster效果，並使用聚類標準誤來檢驗在5%顯著水準下，Napster效果是否為正。
Naspter會增加CD購買4.01元，p-value小於0.05，故效果顯著。
## Coef Estimate SE d.f.
## 1 (Intercept) 19.78 6.06e-16 1.00
## 2 factor(nint)1 -7.33 1.34e-14 1.85
## 3 factor((year == 2000))TRUE -6.16 1.12e-15 2.00
## 4 factor(nint)1:factor((year == 2000))TRUE 4.01 2.58e-14 2.07
## p-val (Satt) Sig.
## 1 <0.001 ***
## 2 <0.001 ***
## 3 <0.001 ***
## 4 <0.001 ***請執行以下程式引入釣魚客的釣魚模式選擇，原始資料為Fishing，而Fish為轉換後的mlogit data frame格式。
以Fish的資料格式說明，alt為可選擇的選項，每個人都有四種可能beach, pier, boat, charter。mode顯示每個人最後的選擇；price為各選項的花費；而catch為各選項的單位時間漁獲量。
在計算\(\ln L_0\)的時候，你會猜一個人最可能的釣魚模式為何？準確率會有多高？
最多人選charter，故會猜charter。會猜中總樣本數1182筆中的452筆，準確率為38.24%.
## .
## beach pier boat charter
## 134 178 418 452考慮以下的隨機效用模型： \[U_{ij}=\beta_j catch_{ij}+\gamma price_{ij}+\tau_j income_{i}+\epsilon_{ij}\] 請使用Multinomial Logit模型估計模型係數，並說明income係數的意義。
所得增加一單位，選boat與選beach的效用差異會增加1.0633; 而選charter與選beach的效用差異會減少1.3764; 選pier與選beach的效用差異會減少2.6480。
##
## Call:
## mlogit(formula = mode ~ price | income | catch, data = ., method = "nr",
## print.level = 0)
##
## Frequencies of alternatives:
## beach boat charter pier
## 0.11337 0.35364 0.38240 0.15059
##
## nr method
## 7 iterations, 0h:0m:0s
## g'(-H)^-1g = 2.54E-05
## successive function values within tolerance limits
##
## Coefficients :
## Estimate Std. Error z-value Pr(>|z|)
## boat:(intercept) 8.4184e-01 2.9996e-01 2.8065 0.0050080 **
## charter:(intercept) 2.1549e+00 2.9746e-01 7.2443 4.348e-13 ***
## pier:(intercept) 1.0430e+00 2.9535e-01 3.5315 0.0004132 ***
## price -2.5281e-02 1.7551e-03 -14.4046 < 2.2e-16 ***
## boat:income 5.5428e-05 5.2130e-05 1.0633 0.2876612
## charter:income -7.2337e-05 5.2557e-05 -1.3764 0.1687088
## pier:income -1.3550e-04 5.1172e-05 -2.6480 0.0080977 **
## beach:catch 3.1177e+00 7.1305e-01 4.3724 1.229e-05 ***
## boat:catch 2.5425e+00 5.2274e-01 4.8638 1.152e-06 ***
## charter:catch 7.5949e-01 1.5420e-01 4.9254 8.417e-07 ***
## pier:catch 2.8512e+00 7.7464e-01 3.6807 0.0002326 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Log-Likelihood: -1199.1
## McFadden R^2: 0.19936
## Likelihood ratio test : chisq = 597.16 (p.value = < 2.22e-16)承上題。以boat選項說明每單位時間漁獲量增加0.1所帶來的效用等值於多少錢？其標準誤又為多少？
每單位時間漁獲量增加0.1，選boat的效用增加0.25425，而金錢的單位效用值為0.02528145；故等值10.05671元。標準誤為207.9385。
## [1] 0.1712146## [,1]
## [1,] 207.9385MLE與Quasi-MLE的差別是什麼？
Quasi-MLE是真實分配與假設不同時下的最大概似估計； 現實中的MLE其實多為Quasi-MLE。
某研究者想使用追蹤資料估算如下的模型： \[y_{it}=\beta_0+\beta_1 x_{i}+\alpha_i+\epsilon_{it}\] 他最後無法使用固定效果模型，而使用了隨機效果模型。理由是什麼？可以改用pooled OLS嗎？
因為解釋變數\(x_i\)只隨i變動，所以使用固定效果會被demean掉。
若可以用隨機效果，表示相信\(\alpha_i\)與\(x_i\)無關，故也可以用Pooled OLS.