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Midterm2018你的學號.Rmd, 如Midterm2018710561121.Rmd為學號710561121的程式答案檔。File->Save with Encoding...選UTF8。Code->Insert Chunk方式產生r程式區塊，並在區塊內寫下你的程式。由《經濟學人》文章“Forcing employers to reveal their gender pay gaps is making them think”中，我們考慮以下問句：
為了回答這個問題考慮以下的效應模型：
\[Manager_i=Manager_{-F,i}+\beta^* female_i\] 其中對第i個勞動者，\(Manager_i\)為1代表為管理職，反之為0；而\(female_i\)為1代表為女性，反之為0。請先執行以下程式載入相關資料：
\(Manager_{-F,i}\)代表什麼？(3分)
性別外其他影響成為管理職的效果，也可以說是「性別以外影響升遷的因素」效果。
考慮以下簡單迴歸： \[Manager_i=\beta_0+\beta_1 female_i+\epsilon_i\] 簡單迴歸模型下，OLS估計的\(\beta_0\)與\(\beta_1\)估計值為多少？(5分)
\(\hat{\beta_0}=\) 0.1230937和\(\hat{\beta_1}=\) 0.0092087。
簡單迴歸要有一致性估計，其所要求的獨立性條件是什麼樣的經濟故事？(5分)
一個人的「性別為何」不與「性別以外影響升遷的因素」有關
考慮勞動者「養育孩子個數（ChBear)」，你覺得隨機抽一個勞動者，若其ChBear越高，越可能是男性或女性？而ChBear越高，你覺得此勞動者\(Manager_{-F,i}\)會越高還越低？為什麼？(8分)
經濟故事說明同時，請做相關計算或繪圖來佐證你的故事。同時依你的故事，在「不進行OLS估計下」，說明忽略此控制變數會使OLS估計值偏高還偏低（比\(\beta^*\)大為偏高，否則為偏低）。
家裡養育小孩數越高(ChBear越高)的家庭此勞動者越不可能是管理職(Manger越不可能為1)，原因是小孩教養要花掉很多精力會導致無法在職場上全力衝刺。
此外，家裡養育小孩數越高(ChBear越高)的家庭，母親越可能是留在家教養小孩，因此觀察到勞動者為女性的可能越低(即female越不可能為1)。
圖中藍線為不同ChBear數下，勞動者為女性的比例。 棕線為不同ChBear數下，勞動者為管理職的比例。兩者皆隨ChBear越高而越低。
再舉一個可能造成OLS估計偏誤的可能變數（不包含下題的\(log(HIncome_i)\)，取對數的家戶總所得），以其經濟故事說明原因，並說明會使估計值偏高還偏低。[此題無需進行任何計算] (5分)
考慮以下複迴歸模型： \[Manager_i=\beta_0+\beta_1 female_i+\gamma_1 ChBear_i + \gamma_2 log(HIncome_i)+\epsilon_i\] 複迴歸模型要能得到\(\beta^*\)合理估計的條件是什麼？上式的\(\epsilon\)代表效應模型中的什麼東西？(5分)
控制同樣養育小孩數與家庭總所得下，性別與「性別以外其他影響升遷因素」無關。
考慮對\(Manager_{-F}\)進行控制變數下的訊息拆解，則
\[Manager_{-F}=\mathbb{E}(Manager_{-F}|ChBear,log(HIncome))+\\ +(Manager_{-F}-\mathbb{E}(Manager_{-F}|ChBear,log(HIncome)))\]
其中
\[\mathbb{E}(Manager_{-F}|ChBear,log(HIncome))=\\ \beta_0+\gamma_1ChBear+\gamma_2 log(Hincome)\]
故\(\epsilon=Manager_{-F}-\mathbb{E}(Manager_{-F}|ChBear,log(HIncome))\)代表「排除ChBear及HIncome因素後，性別以外的其他影響升遷因素」。
請進行複迴歸模型的OLS估計，並檢定是否\(\beta^*< 0\)。[必需清楚寫下虛無假設，p-value及檢定結果] (5分)
虛無假設：\(\beta^*=0\) 或是寫 \(\beta^*\geq0\), p_value=2.702e-07在5%顯著水準下拒絕虛無假設，接受\(\beta^*<0\)的對立假設。
在教育報酬的研究，最常問的效應問題是：
多讀一年書，薪資會上升多少？
執行以下程式引入資料
資料含蓋以下幾個變數：
lwklywge: 取對數後的每週薪資
educ: 勞動者的受教年限
yob: 勞動者出生19xx年後兩碼（如34代表1934）
qob: 勞動者出生於第幾季（1代表1～3月；2代表4～6月；3代表7～9月；4代表10～12月）
pob: 勞動者出生的州（用不同數字代表）
考慮如下的效應結構式：
\[lwklywge_i=lwklywge_{-educ,i}+\beta^*educ_i\]
這裡yob和pob不控制可能會造成\(\beta^*\)估計偏誤，原因的經濟故事是什麼？[此題可以不進行任何計算] (6分)
隨著時間進行，一國的教育水準會普遍增加，加上技術也會隨時間而進步造成勞動產力增加，進而影響勞動者薪資——故忽略時間yob會高估教育的效果。
每個地方的教育水準本來就很可能不一樣，另外，地方產業特色也會造成不同地方薪資水準不同——故忽略pob可能會造成教育效果估計偏誤
yob應該要是ordered factor，而pob應該要是factor。 請先用as.ordered()及as.factor()將變數做適當轉換，接著使用兩控制變數進行複迴歸OLS估計（出現很多係數是正常的）。請問此時估計的教育報酬係數\(\hat{\beta}^*\)代表什麼經濟故事？要如何詮釋係數值？這經濟故事在5%顯著度下顯著嗎？(7分)
每多一年教育，每週薪資可以上升6.82%，由於p-value<0.05故此係數顯著。
這類研究最大的挑戰在「先天能力（innate ability）」無法控制，用經濟故事說明這變數無法控制為什麼會造成\(\beta^*\)估計偏誤。會高估還是低估？為什麼? [無需進行任何計算] (6分)
「先天能力」越高的越會唸書，工作能力也通常比較好，因此薪資也會比較高，故教育高的人薪資有可能反應的只是「先天能力」好，忽略此因素會高估\(\beta^*\)值。
有研究者指出出生者出生的季（qob）會是很好的工具變數，因為國民義務教育一開始的小一是以9月開學時是否滿6歲來決定能否入學；因此第一、二、三季出生的人他在滿六歲時，當年度一定可以入學，而第四季出生的人就必需要再等一年。請延續這個故事，說明qob會滿足工具變數所需要條件的經濟故事原因。[無需進行任何計算] (5分)
由於第四季出生的人在小一時比其他同年級的同學都還年長，心智發展可能比較好，加上身體發育的優勢有可能使他在學階段學習較好，容易在學習上有成就感，因此比較會選擇受較多的教育——「出生季」與「教育年限」相關，符合相關性條件。
另外，一個人「薪水」不應該和他/她是那一季出生有關，故符合排除性條件。
除了第四季會晚入學外，可能還有其他季節因素影響入學時間，我們考慮用qob產生3個虛擬變數成為工具變數：
[Hint: (qob==1)會產生符合( )內條件的0/1數值向量]
請延續第(9)小題複迴歸模型進行兩階段最小平方法估計教育的報酬，說明報酬係數的經濟意義及其5%顯著度檢定結果。(6分)
多受一年教育，每週薪資可以上升8.18%，然而係數只在10%顯著水準下顯著，5%下並不顯著。
請進行工具變數法下的三個檢定。[必需分別說明其虛無假設為什麼？自由度如何計算？及5%顯著度的檢定結果。] (9分)
自由度為工具變數個數-效應變數個數(即educ一個)=3-1=2
p-value=0.11>0.05，故不拒絕H0，符合排除性條件
使用檢定量F>10的拒絕H0原則，目前檢定量為5.558，故不拒絕虛無——有弱工具變數問題。
（此題也可以用報表結果，其p-value<0.05，故沒有弱工具變數問題。我們通常會希望兩者都是一致的拒絕虛無假設。）
自由度＝效應變數個數=1
p-value=0.778 > 0.05，故不拒絕虛無假設。使用OLS與TSLS均可。
考慮如下矩陣表示的迴歸模型：
\[Y=X\beta+\epsilon\] 引用適當的假設，證明在此假設下\(\beta\)的OLS估計式為不偏估計式。(6分)
假設X與\(\epsilon\)獨立，故\(\mathbb{E}(\epsilon|X)=0\)。
\[\mathbb{E}(\hat{\beta}_{OLS}) =\mathbb{E}((X'X)^{-1}X'Y)\\ =\mathbb{E}((X'X)^{-1}X'(X\beta+\epsilon))\\ =\beta+\mathbb{E}((X'X)^{-1}X'\epsilon)\\ =\beta+\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left((X'X)^{-1}X'\epsilon|X\right)\right]\\ =\beta+\mathbb{E}\left[(X'X)^{-1}X'\mathbb{E}\left(\epsilon|X\right)\right]\\ =\beta+\mathbb{E}\left[(X'X)^{-1}X'0\right]\\ =\beta \]
延續(14)題，然該題假設不成立，但有找到合理工具變數群Z，其與解釋變數間的關係如下： \[X=Z\gamma+u\] 說明兩階段最小平方法不會是不偏估計式。(6分)
令\(P_{Z}=Z(Z'Z)^{-1}Z'\)，則\(\hat{\beta}_{TSLS}=(X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}Y\)。 \[\mathbb{E}(\hat{\beta}_{TSLS}) =\mathbb{E}((X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}Y)\\ =\mathbb{E}((X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}(X\beta+\epsilon))\\ =\beta+\mathbb{E}((X'P_{Z}X)^{-1}X'P_{Z}\epsilon)\]
其中工具變數關聯性要求\(Z\)與\(\epsilon\)有關（\(\mathbb{E}(\epsilon|Z)\neq0\))。另外，在工具變數化環境下我們不會假設\(X\)與\(\epsilon\)無關（\(\mathbb{E}(\epsilon|X)\neq0\)），上式已無法再簡化，故不會是不偏估計式。
要研究「智商（IQ）」對某個\(Y\)變數的影響，並以下式代表效應模型：
\[Y_i=Y_{-IQ,i}+\beta^*IQ\] 以「IQ測驗成績（IQscore）」來代表IQ。假設\(IQScore=IQ+u\)，說明會有測量誤差造成\(\beta^*\)估計偏誤的問題。(6分)
由效應式出發，我們可得到 \[Y_i=Y_{-IQ,i}+\beta^*(IQScore-u)\\ =(Y_{-IQ,i}-\beta^*u)+\beta^* IQScore\]
這表示迴歸誤差項會帶有\(-\beta^*u\)這項，它一定和\(IQScore\)相關，不會滿足獨立性條件。
延續(16)題，有學者主張可用其他受IQ影響的測驗成績當IQscore的工具變數來解決測量誤差偏誤的問題。考慮用「數學測驗成績（MathScore）」當工具變數，假設\(MathScore=\gamma_0+\gamma_1 IQ+v\)，說明\(MathScore\)要為合理工具變數必需滿足什麼假設？[除了說明假設外，也請給個經濟故事說明這假設的情境。] (7分)
由於\(MathScore\)與\(IQScore\)均受\(IQ\)影響，\(MathScore\)一定與\(IQScore\)相關，符合相關性條件。
若\(u\)代表表IQ測驗當天狀況，而\(v\)為數學測驗當天狀況，若不是同天考，兩者應該會獨立，故\(MathScore\)與\(u\)無關。若\(MathScore\)也與\(Y_{-IQ,i}\)無關，那它與\(Y_{-IQ,i}-\beta^*u\)無關，滿足排除性條件。
\(MathScore\)是\(IQScore\)的合理工具變數。