14 Heildun jákvæðra falla

14.1 Skilgreining

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm, \(f: \Omega \rightarrow [0, \infty]\) vera mælanlegt fall, \(E\in \mathcal F\) og \(Y(E,f)\) vera mengi allra talna af gerðinni \(\int_E t d\mu\) þar sem \(t\) er einfalt fall á málrúminu, sem uppfyllir \(0 \leq t(x) \leq f(x)\) fyrir öll \(x\) úr \(\Omega\). Þá kallast

\[ \int_E f d\mu := \sup Y(E,f) \]

Lebesgue-heildi fallsins \(f\) yfir mengið \(E\) m.t.t. málsins \(\mu\).

14.2 Setning

Látum \(f\) og \(g\) vera mælanleg föll á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\), sem uppfylla \(0 \leq f \leq g\), og \(E \subseteq F\) vera mælanleg mengi. Þá gildir:

  1. \(\int_E f d\mu \leq \int_E g d\mu\)

  2. \(\int_E f d\mu = \int_\Omega f \cdot \mathbf 1_E d\mu\)

  3. \(\int_E f d\mu \leq \int_F f d\mu\)

  4. \(\int_E cf d\mu = c\int_E f d\mu, \quad \forall c \in \mathbb R_+\)

  5. Fallið \(f\) er núll næstum alls staðar þá og því aðeins að \(\int_\Omega f d\mu = 0\)

Sönnun.

14.3 Setning [Um einhalla samleitni] (Lebesgue)

Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera vaxandi runu af mælanlegum föllum á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\), sem taka gildi sín í \([0, \infty]\), og gerum ráð fyrir að runan stefni á fall \(f: \Omega \rightarrow [0, \infty]\). Með öðrum orðum eru eftirfarandi skilyrði uppfylt:

  1. \(0\leq f_1(x) \leq f_2(x) \leq \dots \leq \infty\) fyrir öll \(x\) úr \(\Omega\).

  2. \(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x) = f(x)\) fyrir öll \(x\) úr \(\Omega\).

Þá er \(f\) mælanlegt fall og

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_nd\mu = \int_\Omega f d\mu \]

Sönnun.

14.4 Setning

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm og \(f,g:\Omega\rightarrow [0,\infty]\) vera mælanleg föll. Þá gildir

\[ \int_{\Omega}(f + g)d\mu = \int_{\Omega}fd\mu + \int_\Omega gd\mu \]

Sönnun.

14.5 Setning [Fatou]

Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera runu af mælanlegum föllum á málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) sem taka gildi sín í \([0, \infty]\). Þá gildir

\[ \int_\Omega(\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)d\mu \leq \liminf_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n d\mu \]

Sönnun. Gerum ráð fyrir að \(0 \leq g \leq f\), þar sem \(g\) er takmarkað fall með stoð á mengi \(E\) með endanlegt mál. Ef við setjum \(g_n(x) = \min(g(x),f_n(x))\), þá er \(g_n\) mælanlegt á E og \(g_n(x) \rightarrow g(x)\) næstum alls staðar, svo að

\[ \int g_n \rightarrow \int g. \]

Samkvæmt skilgreiningu höfum við líka \(g_n \leq f_n\), svo að \(\int g_n \leq \int f_n\), og þar af leiðir

\[ \int g \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}\int f_n. \]

Með því að taka supremum yfir öll slík \(g\) er ójafnan sönnuð.

14.6 Setning

Látum \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) vera málrúm, \(f:\Omega\rightarrow[0, \infty]\) vera mælanlegt fall og skilgreinum fall

\[ \lambda:\mathcal F \rightarrow [0,\infty], \quad E\rightarrow \int_E fd\mu \]

  1. Fallið \(\lambda\) er mál á \(\mathcal F\).

  2. Ef \(\mu(E) = 0\), þá er \(\lambda(E) = 0\).

Mál \(\lambda\) á \((\Omega, \mathcal F, \mu)\), sem fullnægir skilyrði (ii), er sagt vera alsamfellt með tilliti til \(\mu\).

Sönnun.

14.7 Setning

Látum \((f_n)_{n\geq1}\) vera vaxandi runu af föllum frá málrúmi \((\Omega, \mathcal F, \mu)\) inn í \([0, \infty]\), sem stefnir n.a. á mælanlegt fall \(f\). Þá gildir

\[ \int_\Omega fd\mu = \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n d\mu \]

Sönnun.