Kapitel 1 Konfidensinterval (for én gruppe)

1.1 Emne i dette kapitel

I praksis kan en variabel i et datasæt i mange tilfælde beskrives ved hjælp af enten en normal- eller en binomialfordeling. Det betyder, at vi kan bruge enten en normal- eller en binomialfordeling som en teoretisk model for variablen. På baggrund af en sådan teoretisk model har vi mulighed for eksempelvis at sige noget om, hvad vi vil forvente omkring fremtidige værdier af variablen.

For at kunne lave den slags analyser skal vi først have estimeret parametrene i variablens teoretiske fordeling, dvs. have estimeret parametrene i en normal- eller binomialfordeling.

For en variabel, der kan beskrives ved en normalfordeling, er det først og fremmest middelværdien \(\mu\), vi er interesseret i at estimere. Et estimat af \(\mu\) udtrykker vores gæt på, hvad værdien af variablens ukendte (teoretiske) middelværdi er.

Som ethvert gæt er også vores gæt på værdien af \(\mu\) behæftet med usikkerhed. Spørgsmålet er derfor: Når vi gætter på en værdi af \(\mu\), hvor præcist er vores gæt så? Kunne vi ligeså godt gætte på en helt anden værdi? Eller kan vi føle os nogenlunde sikre på, at vores gæt er forholdsvis præcist? (tilsvarende overvejelser gælder for et estimat af den ukendte sandsynlighed \(p\) i en binomialfordeling)

Dette kapitel beskæftiger sig med, hvordan vi kan måle præcisionen af de gæt på ukendte parametre i en teoretisk fordeling, som vi har behov for at lave for at kunne bruge henholdsvis normal- eller binomialfordelingen til videre statistisk analyse.

Eksempel: Ølsalg

Ser vi på prisen for 1 stk. Grøn Tuborg (33 cl glasflaske) i supermarkedskæden Føtex (datafil: Ølsalg.jmp), får vi følgende histogram over variablens empiriske fordeling:

Figur 1.1: Fordeling af prisen på 1 stk. Tuborg i Føtex

Datamaterialet består af 157 ugers priser og kan med en vis rimelighed beskrives af en normalfordeling (den grønne kurve) med estimerede parametre \[\hat\mu=3,\!44\textrm{ og }\hat\sigma=0,23\]

Den ukendte teoretiske middelværdi \(\mu\) for prisen på Grøn Tuborg, gætter vi således på er 3,44 kr. Med andre ord: på baggrund af datamaterialet er vores bedste gæt, at vi skal forvente at prisen på Grøn Tuborg i Føtex er 3,44 kr.

Vores gæt på 3,44 kr. er baseret på samtlige 157 prisobservationer i datamaterialet (det er beregnet som gennemsnittet af alle 157 observationer), og er naturligvis kun et gæt, for vi ved godt at prisen kan variere lidt fra uge til uge.

Hvis vi nu i stedet nøjes med at gætte på værdien af \(\mu\) på baggrund af de første 4 prisobservationer i datamaterialet (svarende til priserne i perioden 30/12 2013 til 26/1 2014), så får vi i stedet et gæt på \(\hat\mu\) = 3,62. Gætter vi baggrund af de efterfølgende 4 prisobservationer (svarende til priserne i perioden 27/1 2014 til 23/2 2014), så får vi et gæt på \(\hat\mu\) = 3,47.

Hver gang vi vælger et nyt datasæt at basere vores gæt på, får vi en anden værdi af \(\hat\mu\). Det skyldes den almindelige variation i priserne fra uge til uge. Det betyder, at et gæt på værdien af \(\mu\) altid vil være behæftet med en vis usikkerhed. Det gælder, uanset hvor få eller hvor mange observationer vi baserer vores gæt på.

Hvis vi, som illustrativt eksempel, går igennem datasættet og regner et gæt på værdien af \(\mu\) ud for 4 ugers observationer ad gangen og herefter tegner de mange gæt op i en figur, så kommer det til at se således ud (datafil: Ølsalg_konfidens.jmp):

Figur 1.2: Estimater af prisen på 1 stk. Tuborg i Føtex

Der er tydeligvis stor variation på de mange forskellige gæt på værdien af \(\mu\), vi kan producere ud fra 4 observationer i datamaterialet.

Selv hvis vi baserer vores gæt på alle 157 prisobservationer, vil det være behæftet med en vis usikkerhed. Vi vil jo næppe forvente, at såfremt vi venter, til der er gået nye 157 uger, og vi dermed kan beregne et nyt gennemsnit af 157 ugers priser, at vi så vil få præcis samme gæt (3,44 kr.) én gang til.

Summa summarum: Når vi beregner et gæt på \(\hat\mu=3,44\) på den ukendte middelværdi for prisen på Grøn Tuborg i Føtex, så er gættet behæftet med usikkerhed.

Det vi skal se på i dette kapitel er, hvordan vi kan måle denne usikkerhed, dvs. hvordan vi kan afgøre, hvor præcist vores gæt på 3,44 kr. for 1 stk. Grøn Tuborg i Føtex egentlig er. Kunne vi ligeså godt have gættet på en pris på 3,44 plus/minus 1 kr.? Eller er det mere rimeligt at tro, at den forventede pris ligger omkring 3,44 kr. plus/minus et par øre?