Chapter 3 多维随机变量及其分布

3.1 多维随机变量及其联合分布(公众号：i44统计考研)

3.1.2 联合分布函数

掌握定义3.1.2和定理3.1.1，注意在求联合分布函数时，通常是二维，划分区域从左下到右上，区域的划分要不重不漏；

3.1.3 联合分布列

掌握定义3.1.3和性质3.1.1；

3.1.4 联合密度函数

掌握定义3.1.4和性质3.1.2；学会利用联合分布函数求联合密度函数，注意在利用联合密度函数计算概率时，一定要画图，搞对积分上下限。

3.1.5 常用多维分布

掌握多项分布，多维超几何分布，多维均匀分布和二元正态分布的联合密度函数形式。

3.1.1 课本重难点例题

例3.1.7（本题同例3.4.9和例3.5.4整理到一起）

3.1.2 课后重难点习题

4（2021浙工商），5（2016东师），6（2019复旦，2020北大），7，15（2016复旦），16

3.2 边际分布与随机变量的独立性(公众号：i44统计考研)

3.2.1-3 边际分布函数，边际分布列，边际密度函数

注意在求以上某一变量边际函数时，是对剩余变量进行计算。

3.2.4 随机变量的独立性

务必掌握掌握定义3.2.1，另外注意补充材料里面的判断独立的另一种方法，建议在做选择或填空题时使用该方法。

3.2.1 课本重难点例题

例3.2.1，例3.2.5，例3.2.6，例3.2.7（2020兰大），例3.2.8

3.2.2 课后重难点习题

3（2012南开，2016北大），7，8（2017南开），10，14，15-17

3.3 多维随机变量函数的分布(公众号：i44统计考研)

3.3.1 多维离散随机变量函数的分布

离散型比较简单，直接计算就可以。

3.3.2 最大值和最小值的分布

本小节可同5.3节次序统计量一起复习，其中最大值对应最大次序统计量，最小值对应最小次序统计量。

3.3.3 连续场合的卷积公式

这种方法比较重要，在数一和数三概率论也经常考。重点是掌握取两个区间的交集，进而进行积分计算。 注意总结不同情况下求随机变量函数用的方法，即

离散+离散：直接计算即可
离散+连续：全概率公式
连续+连续：卷积公式，变量变换法

3.3.4 变量变换法

注意变量变换法中课本上强调反函数唯一，如果不唯一，该如何求？可参考补充材料里相关知识。

3.3.1 课本重难点例题

例3.3.2（2012北大，本题同例3.5.2整理到一起），例3.3.3，例3.3.4，例3.3.5（特别注意最小值仍然服从指数分布），例3.3.7（特别注意独立正态变量的线性组合仍服从正态分布），例3.3.8（注意指数分布和卡方分布），例3.3.9，例3.3.10-例3.3.12

3.3.2 课后重难点习题

2（2015中山，2017中山），4，5（2013中山，2018南开），6，7（2017南开），9（2019复旦），10-21

3.3.15(补充习题) 设X和Y独立同分布于标准正态分布\(N(0,1)\),求\(R=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}, \frac{Y}{X} =\tan \theta\)的联合密度函数。

3.4 多维随机变量的特征数(公众号：i44统计考研)

本节内容特别重要，务必掌握！

3.4.1 多维随机变量函数的数学期望

学会利用定理3.4.1计算期望

3.4.2 数学期望与方差的运算性质

性质3.4.1-3.4.3

注意独立场合情况下的各性质。

3.4.3 协方差

学会利用定义3.4.1和性质3.4.4计算协方差；注意独立和不相关的区别。掌握性质3.4.6-3.4.10；

3.4.4 相关系数

学会利用定义3.4.2计算相关系数，引理3.4.1证明过程需掌握。掌握性质3.4.11-13.

3.4.5 随机向量的数学期望向量与协方差矩阵

掌握定义3.4.3，了解定理3.4.2.本小节内容可在多元统计书上找到，感兴趣的同学可自行学习。

3.4.1 课本重难点例题

例3.4.1（2017浙工商，2021兰大），例3.4.2，例3.4.3（2017南开），例3.4.4（掌握0-1法的使用），例3.4.5，例3.4.9（本题同例3.5.4整理到一起），例3.4.11，例3.4.12（关键是掌握二元正态分布的期望向量和协方差矩阵），

3.4.2 课后重难点习题

所有题目都很重要，务必全部掌握

3.5 条件分布与条件期望(公众号：i44统计考研)

学会利用定义3.5.1和定义3.5.3求条件分布，学会利用定义3.5.4求条件数学期望。

3.5.1 课本重难点例题

例3.5.2（2010中科大，2012北大），例3.5.3，例3.5.4（2015中科大），例3.5.6（2019北大），定理3.5.1（证明过程需掌握）注意补充材料里面的条件方差公式，证明过程也要掌握。例3.5.9，例3.5.10（本题同课后18题整理到一起）

3.5.2 课后重难点习题

2，4，5（2021厦大），7（2020厦大），9（2013中科大），11，13（2019南开），14-18