Chapter 2 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布(公众号：i44统计考研)
2.1.1 知识点串讲
2.1.1 随机变量的概念
掌握定义2.1.1 随机变量的含义，同定义2.1.2分布函数的定义，一起注意用大写字母表示随机变量，用小写字母表示取值，也就是x,y,z可看作常数，再写分布函数时，注意规范，即搞清楚\(F_{X}(x)\)中X和x的含义。
2.1.2 随机变量的分布函数
注意：设 \(X\) 为一随机变量, 如果 \(F_{X}(x)\) 是 \(x\) 的连续函数, 则称 \(X\) 是连续 的 ; 如果 \(F_{X}(x)\) 是 \(x\) 的阶梯函数, 则称 \(X\) 是离散的.
定理2.1.1 需知道这三个性质是判断分布函数的充要条件，证明过程了解即可。需掌握该定律后面的给出的关于X的各种概率公式。
例2.1.2 给出了柯西分布分布函数，自己可求导得到密度函数，即\(p(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^{2}},-\infty<x<\infty\)
注意标准柯西分布是\(t(1)\)分布，它的期望不存在。（可参考例2.2.5）
2.1.3 离散随机变量的概率分布列
掌握定义2.1.3和性质2.1.1，会求离散型的分布函数，掌握单点分布的定义。
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
注意\(p(x)dx\)的含义，注意定义2.1.4里面非负可积，性质2.1.2为一考点，部分院校真题会考，即给定一个函数\(f(x)\)，然后让你利用这两个性质判断\(f(x)\)是不是概率密度函数.
注意详细阅读例2.1.8后面密度函数和分布列的异同点，注意给大家补充材料里面的“归一法”。
2.2 随机变量的数学期望(公众号：i44统计考研)
2.3 随机变量的方差与标准差(公众号：i44统计考研)
2.3.1 知识点串讲
2.3.1 方差与标准差的定义
需掌握定义2.3.1，注意定义2.3.1下面有一段话，即另外要指出的是: 如果随机变量 \(X\) 的数学期望存在, 其方差不一定存在; 而当 \(X\) 的 方差存在时, 则 \(E(X)\) 必定存在, 其原因在于 \(|x| \leqslant x^{2}+1\) 总是成立的. 我在茆诗松概统习题班详细讲解了这两句话内容，可在cctalk上观看。
2.3.2 方差的性质
注意掌握性质2.3.1，后续计算方差通常用该公式。掌握性质2.3.2和性质2.3.3
2.3.3 切比雪夫不等式
定理2.3.1特别重要，证明过程务必掌握。另外注意我给大家补充的材料里面的马尔可夫不等式，单边切比雪夫不等式和詹森不等式。掌握定理2.3.2.
2.4 常用离散分布(公众号：i44统计考研)
2.4.1 知识点串讲
2.4.1 二项分布
需掌握二项分布、两点分布的定义，会自己求它们的期望和方差，另外特别注意二项\(b(n, p)\) 与二点分布 \(b(1, p)\) 之间的联系, 即服从二项分布的随机变量总可分解为 \(n\) 个 独立同为二点分布的随机变量之和.这种拆分方法在后面的学习中经常用到。
2.4.2 泊松分布
需掌握泊松分布的定义，会自己求它们的期望和方差，另外特别注意二项\(b(n, p)\) 与泊松分布之间的联系（二项分布的泊松近似:泊松定理），注意条件是n较大且p较小。令外注意二项分布的正态近似，可参考本书4.4节中4.4.3内容，注意条件是np>5和n(1-p)>5.
2.4.3 超几何分布
需掌握超几何分布的定义，了解其期望和方差，注意二项分布与超几何分布的关系（超几何分布的二项近似）
2.4.4 几何分布与负二项分布
需掌握几何分布与负二项分布的定义，会自己求它们的期望和方差，另外特别注意几何分布与负二项分布 之间的联系, 即负二项分布的随机变量可以分解成 \(r\) 个独立同分布的几何分布随机变量之和. 几何分布的无记忆性可同指数分布的无记忆性整理到一起。
2.5 常用连续分布(公众号：i44统计考研)
2.5.1 知识点串讲
2.5.1 正态分布
需掌握正态分布的密度函数和分布函数，注意它们的图形（图2.5.1），另外\(\mu\)为位置参数，\(\sigma\)为尺度参数，有两类分布族，一个是位置族，另一个是尺度族，可参考《统计推断》3.5节内容。
需掌握标准正态分布的密度函数和分布函数以及它们的写法\(\varphi(u)\)和\(\Phi(u)\).注意它们的图形（图2.5.2），需掌握例2.5.1上面的四个公式，掌握正态变量的标准化，以及自己会求正态分布的期望和方差。掌握\(3\sigma\)原则。
2.5.2 均匀分布
需掌握均匀分布的密度函数和分布函数，以及自己会求均匀分布的期望和方差。
2.5.3 指数分布
需掌握指数分布的密度函数和分布函数，以及自己会求指数分布的期望和方差。特别注意指数分布的无记忆性。
注意正态分布、均匀分布和指数分布是三大基本分布，建议后期要把这三个分布的所有题目自己都总结到一起。
2.5.4 伽马分布
掌握伽马函数以及伽马函数的性质，注意补充\(\Gamma(2)=1\),需掌握伽马分布的密度函数和分布函数，以及自己会求伽马分布的期望和方差。注意伽马分布的两个特例，即伽马分布与指数分布，伽马分布与卡方分布的关系。
2.5.5 贝塔分布
掌握贝塔函数以及贝塔函数的性质，需掌握贝塔分布的密度函数和分布函数，以及自己会求贝塔分布的期望和方差。注意贝塔分布的特例，即贝塔分布与均匀分布的关系，Be(1,1)=U(0,1)。